Ache uma base para os subespaços de R^4: U, V, U cap V e U+V onde
U=(x, y, z, t) in R^4 / x-y-z+t=0 e V=(x, y, z, t) in R^4 / x-y=0 e z+t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para alguns subespaços em R^4. Especificamente, vamos achar as bases para U, V, U cap V e U + V. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e combinação linear. Não se preocupe, vou te explicar cada passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são U e V. O subespaço U é definido por todos os vetores (x, y, z, t) que satisfazem a equação:
x - y - z + t = 0
Isso é uma equação linear que relaciona as quatro variáveis.

Passo 3

Já o subespaço [V) é definido por duas equações:
Essas duas equações impõem restrições sobre os vetores em (V].

Passo 4

Vamos começar encontrando uma base para U. Para isso, vamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver a equação de U para x:
x = y + z - t
Então, podemos escrever um vetor em U como:
(y + z - t,, y,, z,, t) = y(1, 1, 0, 0) + z(1, 0, 1, 0) + t(-1, 0, 0, 1)
Isso mostra que qualquer vetor em U pode ser formado por combinações lineares dos vetores (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0) e (-1, 0, 0, 1). Essas três vetores são linearmente independentes, então eles formam uma base para U.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma base para [V). As equações que definem são:
Podemos expressar um vetor em (V] como:
Aqui, vemos que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores e . Esses dois vetores são linearmente independentes, formando assim uma base para .

Passo 6

Vamos agora encontrar a intersecção U cap V, que consiste nos vetores que estão tanto em U quanto em V. Para isso, precisamos que os vetores satisfaçam as equações de U e de V simultaneamente.
Sabemos que em V:
x = y e t = -z
E em U:
x = y + z - t
Substituindo x = y e t = -z na equação de U:
y = y + z - (-z) implies y = y + 2z implies 0 = 2z implies z = 0
Com z = 0, então t = -z = 0. Assim, os vetores em U cap V têm a forma:
(y, y, 0, 0) = y(1, 1, 0, 0)
Portanto, a base para U cap V é (1, 1, 0, 0).

Passo 7

Por fim, vamos encontrar a soma U + V, que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U e um vetor de V.
Temos:
U = span(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1)
V = span(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, -1)
Somando esses conjuntos, obtemos:
U + V = span(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, -1)
Agora, precisamos verificar a independência linear desses vetores. Observamos que (1, 1, 0, 0) já está presente em ambos, e (1, 0, 1, 0) e (-1, 0, 0, 1) não podem ser escritos como combinações dos outros. Portanto, a base para U + V é:
(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, -1)

Resposta

Bases encontradas:
&Base de U: &&, (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1) , &Base de V: &&, (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, -1) , &Base de U cap V: &&, (1, 1, 0, 0) , &Base de U + V: &&, (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, -1) ,

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