Ache uma base para os subespaços de
e
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para alguns subespaços em
. Especificamente, vamos achar as bases para
,
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e combinação linear. Não se preocupe, vou te explicar cada passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
. O subespaço
é definido por todos os vetores
que satisfazem a equação:
Isso é uma equação linear que relaciona as quatro variáveis.
Passo 3
Já o subespaço [V) é definido por duas equações:
Essas duas equações impõem restrições sobre os vetores em (V].
Passo 4
Vamos começar encontrando uma base para
. Para isso, vamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver a equação de
para
:
Então, podemos escrever um vetor em
como:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser formado por combinações lineares dos vetores
,
e
. Essas três vetores são linearmente independentes, então eles formam uma base para
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma base para [V). As equações que definem
são:
Podemos expressar um vetor em (V] como:
Aqui, vemos que qualquer vetor em
é uma combinação linear dos vetores
e
. Esses dois vetores são linearmente independentes, formando assim uma base para
.
Passo 6
Vamos agora encontrar a intersecção
, que consiste nos vetores que estão tanto em
quanto em
. Para isso, precisamos que os vetores satisfaçam as equações de
e de
simultaneamente.
Sabemos que em
:
E em
:
Substituindo
e
na equação de
:
Com
, então
. Assim, os vetores em
têm a forma:
Portanto, a base para
é
.
Passo 7
Por fim, vamos encontrar a soma
, que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
Temos:
Somando esses conjuntos, obtemos:
Agora, precisamos verificar a independência linear desses vetores. Observamos que
já está presente em ambos, e
e
não podem ser escritos como combinações dos outros. Portanto, a base para
é:
Resposta
Bases encontradas: