Qual é a condição sobre o escalar alpha para que o conjunto abaixo seja L.I.:
(1,0, alpha),(1,1, alpha),(1,1, alpha^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir qual valor de alpha faz com que o conjunto de três vetores
(1,0, alpha),(1,1, alpha),(1,1, alpha^2)
seja linearmente independente (L.I.). Isso quer dizer que a gente precisa encontrar as condições para que nenhum vetor seja combinação linear dos outros. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um conjunto de vetores é linearmente independente se o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero. Então, nosso próximo passo é montar essa matriz usando os vetores como colunas.

Passo 3

Vamos montar a matriz A com os vetores dados:
A = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 alpha & alpha & alpha^2
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante de A:
det(A) = 1 cdot 1 & 1 alpha & alpha^2 - 1 cdot 0 & 1 alpha & alpha^2 + 1 cdot 0 & 1 alpha & alpha
Vamos calcular cada menor:
1 & 1 alpha & alpha^2 = (1)(alpha^2) - (1)(alpha) = alpha^2 - alpha
0 & 1 alpha & alpha^2 = (0)(alpha^2) - (1)(alpha) = -alpha
0 & 1 alpha & alpha = (0)(alpha) - (1)(alpha) = -alpha
Substituindo de volta:
det(A) = 1(alpha^2 - alpha) - 1(-alpha) + 1(-alpha) = alpha^2 - alpha + alpha - alpha = alpha^2 - alpha

Passo 5

Para que o conjunto seja linearmente independente, o determinante deve ser diferente de zero:
alpha^2 - alpha neq 0
Vamos resolver essa inequação:
alpha(alpha - 1) neq 0
Isso significa que alpha neq 0 e alpha neq 1.

Resposta

Portanto, o conjunto de vetores é linearmente independente para todo valor de alpha diferente de 0 e 1. Ou seja, alpha neq 0 e alpha neq 1.

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