Mostre que:
é L.I.;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto de funções
é linearmente independente. O conteúdo aqui é a definição de independência linear em espaço de funções contínuas e a propriedade de que um polinômio não nulo de grau tem no máximo
raízes.
é linearmente independente. O conteúdo aqui é a definição de independência linear em espaço de funções contínuas e a propriedade de que um polinômio não nulo de grau
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista uma combinação linear não trivial que anule todas as funções do conjunto, ou seja, existam constantes
, não todas zero, tais que para todo
vale
Passo 3
Defina o polinômio
Pela suposição,
para todo
, ou seja,
tem infinitos zeros nesse intervalo.
Passo 4
Mas sabemos que um polinômio de grau no máximo
que não seja identicamente zero pode ter no máximo
raízes distintas. Como
tem infinitas raízes, a única possibilidade é que
seja o polinômio zero, isto é, todos os coeficientes devem anular:
Passo 5
Concluímos que a única combinação linear que anula todas as funções é a trivial. Logo, pelo critério de independência linear, o conjunto
é linearmente independente em .
é linearmente independente em
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.