Mostre que:
1, x, x^2, x^3, x^4 subset C([-pi, pi]) é L.I.;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto de funções
1,;x,;x^2,;x^3,;x^4subset C([-pi,pi])
é linearmente independente. O conteúdo aqui é a definição de independência linear em espaço de funções contínuas e a propriedade de que um polinômio não nulo de grau n tem no máximo n raízes.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista uma combinação linear não trivial que anule todas as funções do conjunto, ou seja, existam constantes a0,a1,a2,a3,a4inC, não todas zero, tais que para todo xin[-pi,pi] vale
a0cdot1 + a1,x + a2,x^2 + a3,x^3 + a4,x^4 = 0

Passo 3

Defina o polinômio
P(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4
Pela suposição, P(x)=0 para todo xin[-pi,pi], ou seja, P tem infinitos zeros nesse intervalo.

Passo 4

Mas sabemos que um polinômio de grau no máximo 4 que não seja identicamente zero pode ter no máximo 4 raízes distintas. Como P tem infinitas raízes, a única possibilidade é que P seja o polinômio zero, isto é, todos os coeficientes devem anular:
a0=a1=a2=a3=a4=0

Passo 5

Concluímos que a única combinação linear que anula todas as funções é a trivial. Logo, pelo critério de independência linear, o conjunto
1,x,x^2,x^3,x^4
é linearmente independente em C([-pi,pi]).

Resposta

O conjunto 1,x,x^2,x^3,x^4 é linearmente independente em C([-pi,pi]).

Exercícios relacionados