Considere os seguintes subespaços de
Determine:
a) um sistema de geradores para
e um sistema de geradores para
;
b) um sistema de geradores para o subespaço
;
c) a dimensão de
e
.
a) um sistema de geradores para
b) um sistema de geradores para o subespaço
c) a dimensão de
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que foi pedido! Temos dois subespaços de
:
Precisamos determinar:
a) Um sistema de geradores para
e para
;
b) Um sistema de geradores para o subespaço
;
c) A dimensão de
,
e
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas de equações lineares, subespaços, sistemas de geradores e dimensão de subespaços.
Passo 2
Parte a): Queremos encontrar sistemas de geradores para
e
.
Primeiro, vamos entender o que é um sistema de geradores. Um sistema de geradores de um subespaço é um conjunto de vetores cujas combinações lineares podem gerar qualquer vetor do subespaço.
Para encontrar esses geradores, vamos expressar as condições das equações que definem
e
de forma a resolver uma das variáveis em termos das outras.
Passo 3
Sistema de geradores para
:
A equação de
é
.
Vamos resolver essa equação para
:
Agora, podemos expressar qualquer vetor de
como:
Portanto, um sistema de geradores para
é
.
Passo 4
Sistema de geradores para
:
A equação de
é
.
Vamos resolver essa equação para
:
Assim, qualquer vetor de
pode ser escrito como:
Logo, um sistema de geradores para
é
.
Passo 5
Parte b): Precisamos encontrar um sistema de geradores para [U \cap W), isto é, o conjunto dos vetores que pertencem a ambos os subespaços
e
.
To find
, precisamos resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre e
.
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Temos:
Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar
:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Então, podemos expressar qualquer vetor em
como:
Portanto, um sistema de geradores para
é
.
Passo 7
Parte c): Vamos determinar a dimensão de
,
e
.
A dimensão de um subespaço é o número de vetores em um sistema de geradores linearmente independente para esse subespaço, ou seja, o tamanho de uma base.
Dimensão de
:
Vimos que um sistema de geradores para
é
.
Esses dois vetores são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), então
.
Dimensão de
:
O sistema de geradores para
é
.
Também são vetores linearmente independentes, então
.
Dimensão de
:
Usamos a fórmula da dimensão da soma de subespaços:
Já sabemos que
,
e precisamos encontrar
.
Do passo anterior,
é gerado por um único vetor, então
.
Aplicando na fórmula:
Resposta
a) Sistema de geradores para
e
:
b) Sistema de geradores para
:
c) Dimensões: