Considere os seguintes subespaços de R^3
U=(x, y, z) in R^3 / x-2 y+3 z=0 e W=(x, y, z) in R^3 / x+y+z=0
Determine:
a) um sistema de geradores para U e um sistema de geradores para W;
b) um sistema de geradores para o subespaço U cap W;
c) a dimensão de U, W e U+W.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que foi pedido! Temos dois subespaços de R^3:
U = (x, y, z) in R^3 mid x - 2y + 3z = 0 e W = (x, y, z) in R^3 mid x + y + z = 0
Precisamos determinar:
a) Um sistema de geradores para U e para W;
b) Um sistema de geradores para o subespaço U cap W;
c) A dimensão de U, W e U + W.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas de equações lineares, subespaços, sistemas de geradores e dimensão de subespaços.

Passo 2

Parte a): Queremos encontrar sistemas de geradores para U e W.
Primeiro, vamos entender o que é um sistema de geradores. Um sistema de geradores de um subespaço é um conjunto de vetores cujas combinações lineares podem gerar qualquer vetor do subespaço.
Para encontrar esses geradores, vamos expressar as condições das equações que definem U e W de forma a resolver uma das variáveis em termos das outras.

Passo 3

Sistema de geradores para U:
A equação de U é x - 2y + 3z = 0.
Vamos resolver essa equação para x:
x = 2y - 3z
Agora, podemos expressar qualquer vetor de U como:
(x, y, z) = (2y - 3z, , y, , z) = y cdot (2, 1, 0) + z cdot (-3, 0, 1)
Portanto, um sistema de geradores para U é , (2, 1, 0), , (-3, 0, 1) ,.

Passo 4

Sistema de geradores para W:
A equação de W é x + y + z = 0.
Vamos resolver essa equação para x:
x = -y - z
Assim, qualquer vetor de W pode ser escrito como:
(x, y, z) = (-y - z, , y, , z) = y cdot (-1, 1, 0) + z cdot (-1, 0, 1)
Logo, um sistema de geradores para W é , (-1, 1, 0), , (-1, 0, 1) ,.

Passo 5

Parte b): Precisamos encontrar um sistema de geradores para [U \cap W), isto é, o conjunto dos vetores que pertencem a ambos os subespaços e .
To find , precisamos resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre e .

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Temos:
  1. x - 2y + 3z = 0
  2. x + y + z = 0
Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar x:
(x - 2y + 3z) - (x + y + z) = 0 - 0 -3y + 2z = 0 3y = 2z y = 23z
Agora, substituímos y = 23z na segunda equação:
x + 23z + z = 0 x + 53z = 0 x = -53z
Então, podemos expressar qualquer vetor em U cap W como:
(x, y, z) = (-53z, , 23z, , z) = z cdot (-53, , 23, , 1)
Portanto, um sistema de geradores para U cap W é , (-53, , 23, , 1) ,.

Passo 7

Parte c): Vamos determinar a dimensão de U, W e U + W.
A dimensão de um subespaço é o número de vetores em um sistema de geradores linearmente independente para esse subespaço, ou seja, o tamanho de uma base.
Dimensão de U:
Vimos que um sistema de geradores para U é , (2, 1, 0), , (-3, 0, 1) ,.
Esses dois vetores são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), então dim(U) = 2.
Dimensão de W:
O sistema de geradores para W é , (-1, 1, 0), , (-1, 0, 1) ,.
Também são vetores linearmente independentes, então dim(W) = 2.
Dimensão de U + W:
Usamos a fórmula da dimensão da soma de subespaços:
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)
Já sabemos que dim(U) = 2, dim(W) = 2 e precisamos encontrar dim(U cap W).
Do passo anterior, U cap W é gerado por um único vetor, então dim(U cap W) = 1.
Aplicando na fórmula:
dim(U + W) = 2 + 2 - 1 = 3

Resposta

a) Sistema de geradores para U e W:
U = , (2, 1, 0), , (-3, 0, 1) ,
W = , (-1, 1, 0), , (-1, 0, 1) ,
b) Sistema de geradores para U cap W:
U cap W = , (-53, , 23, , 1) ,
c) Dimensões:
dim(U) = 2, dim(W) = 2, dim(U + W) = 3

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