Ache, em cada caso, a solução do problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando
.
,
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares x’=A x, com
e descrever o comportamento de x(t) quando t→∞. Esse é um sistema de EDOs lineares com coeficientes constantes; vamos usar autovalores e autovetores de A para diagonalizar e obter a solução.
Passo 2
Para achar os autovalores, montamos a equação característica det(A−λI)=0:
Resolvendo, vem
$$\lambda=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{2}=-1\pm\sqrt5.
$$
Passo 3
Agora encontramos os autovetores correspondentes. Para
, resolvemos
$$(A-\lambda_1I)v=0\implies
=0.
$$
Passo 4
Como a matriz é diagonalizável (autovalores distintos), a solução geral é
Passo 5
Aplicando a condição inicial x(0)=(1,1)^T, temos
$$c_1+c_2=1,\quad c_1(\sqrt5-2)+c_2(-(2+\sqrt5))=1.
e então
$$c_2=1-c_1=\frac{5-3\sqrt5}{10}.
$$
Passo 6
Substituindo os coeficientes, a solução particular é
Passo 7
Para t→∞, como -1+√5≈1.236>0 e -1-√5<0, o segundo termo decai e o primeiro cresce exponencialmente. Logo x(t) diverge na direção de
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
Como o autovalor
é positivo, o termo associado cresce exponencialmente, de modo que x(t) diverge na direção de
quando t→∞.