Ache, em cada caso, a solução do problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando t infty.
x^prime=[cc1 & 1 1 & -3] x, x(0)=[l1 1]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares x’=A x, com
A=1 & 11 & -3, x(0)=11,
e descrever o comportamento de x(t) quando t→∞. Esse é um sistema de EDOs lineares com coeficientes constantes; vamos usar autovalores e autovetores de A para diagonalizar e obter a solução.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos a equação característica det(A−λI)=0:
det(A-lambda I) =det1-lambda & 1[6pt]1 & -3-lambda =(1-lambda)(-3-lambda)-1 =lambda^2+2lambda-4 =0
Resolvendo, vem
$$\lambda=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{2}=-1\pm\sqrt5.
$$

Passo 3

Agora encontramos os autovetores correspondentes. Para lambda1=-1+raiz5, resolvemos
$$(A-\lambda_1I)v=0\implies (A-lambda1I)v=0implies2-raiz5 & 11 & -2-raiz5v1v2=0 v^(1)=1raiz5-2 =0.
lambda2=-1-raiz5çããv^{(1)}= v^(2)=1-(2+raiz5) .
v^{(2)}= .
$$

Passo 4

Como a matriz é diagonalizável (autovalores distintos), a solução geral é
x(t)=c1e^( -1+raiz5)tv^(1)+c2e^( -1-raiz5)tv^(2)

Passo 5

Aplicando a condição inicial x(0)=(1,1)^T, temos
$$c_1+c_2=1,\quad c_1(\sqrt5-2)+c_2(-(2+\sqrt5))=1.
c1+c2=1, c1(raiz5-2)+c2(-(2+raiz5))=1 çã2\sqrt5,c_1=3+\sqrt5\implies c_1=\frac{3+\sqrt5}{2\sqrt5}=\frac{3\sqrt5+5}{10},$$
e então
$$c_2=1-c_1=\frac{5-3\sqrt5}{10}.
$$

Passo 6

Substituindo os coeficientes, a solução particular é
x(t)=3raiz5+510e^(-1+raiz5)t1raiz5-2+5-3raiz510e^(-1-raiz5)t1-(2+raiz5)

Passo 7

Para t→∞, como -1+√5≈1.236>0 e -1-√5<0, o segundo termo decai e o primeiro cresce exponencialmente. Logo x(t) diverge na direção de v^(1)=(1,raiz5-2)^T.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
x(t)=3raiz5+510e^(-1+raiz5)t1raiz5-2+5-3raiz510e^(-1-raiz5)t1-(2+raiz5)
Como o autovalor -1+raiz5 é positivo, o termo associado cresce exponencialmente, de modo que x(t) diverge na direção de 1raiz5-2 quando t→∞.

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