Ache cada limite, se existe:
f(x)=\frac{1}{x^{3}} \quad \mathrm{a}=0
a) \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow a} f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{1}{x^{3}} e o ponto a=0. Pede três limites:
a) \displaystyle \lim_{x\to a^{-}} f(x), ou seja \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} \dfrac{1}{x^{3}};
b) \displaystyle \lim_{x\to a^{+}} f(x), ou seja \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \dfrac{1}{x^{3}};
c) \displaystyle \lim_{x\to a} f(x), ou seja \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{1}{x^{3}}.
Informações relevantes: a função está indefinida em x=0 porque o denominador seria 0. Precisamos estudar o comportamento de 1/x^{3} quando x se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos) e pela direita (valores positivos).

Passo 2

Entendendo o comportamento de x^{3} perto de zero (intuição necessária).
  • Se x>0 e x é muito pequeno, então x^{3} também é muito pequeno e positivo.
  • Se x<0 e |x| é muito pequeno, então x^{3} também é muito pequeno e negativo (pois o cubo preserva o sinal).
    Essa propriedade de “preservar o sinal” é chave: para potências ímpares como x^{3}, o sinal de x^{3} é igual ao sinal de x. Para potências pares (por exemplo x^{2}) o sinal seria sempre não negativo, mas aqui é ímpar, então mantemos o sinal.

Passo 3

Analisando \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \dfrac{1}{x^{3}} (aproximação pela direita).
Intuição: quando x>0 e vai a 0, x^{3}\to 0^{+}, então 1/x^{3} fica cada vez maior e positivo — tende para +\infty.
Queremos uma demonstração do tipo "para qualquer A>0 existe \delta>0 tal que se 0<x<\delta então \dfrac{1}{x^{3}}>A". Isso mostra limite igual a +\infty.
  • Seja A>0.
  • Tome \delta = \dfrac{1}{A^{1/3}}. Note que \delta>0.
  • Se 0<x<\delta então x^{3}<\delta^{3}=\dfrac{1}{A}.
  • Como x^{3}>0, invertendo a desigualdade positiva obtemos \dfrac{1}{x^{3}}>\dfrac{1}{\delta^{3}}=A.
    Logo, para qualquer A>0 conseguimos forçar \dfrac{1}{x^{3}}>A quando x está suficientemente próximo de 0 pela direita. Isso prova que
\lim_{x\to 0^{+}} \dfrac{1}{x^{3}} = +\infty.

Passo 4

Analisando \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} \dfrac{1}{x^{3}} (aproximação pela esquerda).
Intuição: quando x<0 e |x| vai a 0, x^{3}\to 0^{-}, então 1/x^{3} fica cada vez mais negativo — tende para -\infty.
Demonstração rigorosa do tipo "para qualquer M>0 existe \delta>0 tal que se -\delta<x<0 então \dfrac{1}{x^{3}}<-M":
  • Seja M>0.
  • Tome \delta = \dfrac{1}{M^{1/3}}.
  • Se -\delta < x < 0 então |x|<\delta, portanto |x|^{3}<\delta^{3}=\dfrac{1}{M}.
  • Como x<0, temos x^{3}=-|x|^{3}, então x^{3}>-\dfrac{1}{M} não é a forma direta; melhor trabalhar invertendo com cuidado: de |x|^{3}<\dfrac{1}{M} segue -|x|^{3}>-\dfrac{1}{M}, isto é x^{3}>-\dfrac{1}{M}. Porém queremos uma desigualdade para 1/x^{3}. Mais direto:
    para x<0 com |x|<\delta temos x^{3}<0 e |x^{3}|=|x|^{3}<\dfrac{1}{M}, então -\dfrac{1}{M}<x^{3}<0. Invertendo desigualdades que envolvem números negativos troca os sinais; ao inverter x^{3}<0 e x^{3}>-\dfrac{1}{M} obtemos \dfrac{1}{x^{3}}< -M.(Explicação do passo de inversão: se -\dfrac{1}{M}<x^{3}<0, dividir por x^{3} negativo inverte desigualdades; equivalente é considerar 1/|x^{3}|>M e manter sinal negativo.)
    Portanto, para qualquer M>0 existe \delta>0 tal que se -\delta<x<0 então \dfrac{1}{x^{3}}<-M. Isso prova que
\lim_{x\to 0^{-}} \dfrac{1}{x^{3}} = -\infty.

Passo 5

Comparando as duas partes: a parte direita do limite tende a +\infty e a parte esquerda tende a -\infty. Como os limites laterais são diferentes (e ainda são infinitos com sinais opostos), o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{1}{x^{3}} não existe no sentido de número finito; mais precisamente, não existe nem como +\infty nem como -\infty porque as duas direções discordam.
Dica prática para prova: ao ver 1/x^{n} quando x\to 0, cheque se n é par ou ímpar. Se n é par, ambos os lados tendem ao mesmo infinito positivo. Se n é ímpar, os sinais dos dois limites laterais são opostos (positivo pela direita, negativo pela esquerda) — como aqui com n=3.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} \dfrac{1}{x^{3}} = -\infty
\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \dfrac{1}{x^{3}} = +\infty
\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{1}{x^{3}} \text{ does not exist}

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