Ache cada limite, se existe:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Pede três limites:
a) , ou seja
;
b) , ou seja
;
c) , ou seja
.
a)
b)
c)
Informações relevantes: a função está indefinida em
porque o denominador seria
. Precisamos estudar o comportamento de
quando
se aproxima de
pela esquerda (valores negativos) e pela direita (valores positivos).
Passo 2
Entendendo o comportamento de
perto de zero (intuição necessária).
- Se
e é muito pequeno, então também é muito pequeno e positivo. - Se
e é muito pequeno, então também é muito pequeno e negativo (pois o cubo preserva o sinal).
Essa propriedade de “preservar o sinal” é chave: para potências ímpares como, o sinal de é igual ao sinal de . Para potências pares (por exemplo ) o sinal seria sempre não negativo, mas aqui é ímpar, então mantemos o sinal.
Passo 3
Analisando
(aproximação pela direita).
Intuição: quando e vai a
,
, então
fica cada vez maior e positivo — tende para
.
Intuição: quando
Queremos uma demonstração do tipo "para qualquer
existe
tal que se
então
". Isso mostra limite igual a
.
- Seja
. - Tome
. Note que . - Se
então . - Como
, invertendo a desigualdade positiva obtemos .
Logo, para qualquerconseguimos forçar quando está suficientemente próximo de pela direita. Isso prova que
Passo 4
Analisando
(aproximação pela esquerda).
Intuição: quando e
vai a
,
, então
fica cada vez mais negativo — tende para
.
Intuição: quando
Demonstração rigorosa do tipo "para qualquer
existe
tal que se
então
":
- Seja
. - Tome
. - Se
então , portanto . - Como
, temos , então não é a forma direta; melhor trabalhar invertendo com cuidado: de segue , isto é . Porém queremos uma desigualdade para . Mais direto:
paracom temos e , então . Invertendo desigualdades que envolvem números negativos troca os sinais; ao inverter e obtemos (Explicação do passo de inversão: se , dividir por negativo inverte desigualdades; equivalente é considerar e manter sinal negativo.)
Portanto, para qualquerexiste tal que se então . Isso prova que
Passo 5
Comparando as duas partes: a parte direita do limite tende a
e a parte esquerda tende a
. Como os limites laterais são diferentes (e ainda são infinitos com sinais opostos), o limite bilateral
não existe no sentido de número finito; mais precisamente, não existe nem como
nem como
porque as duas direções discordam.
Dica prática para prova: ao ver
quando
, cheque se
é par ou ímpar. Se
é par, ambos os lados tendem ao mesmo infinito positivo. Se
é ímpar, os sinais dos dois limites laterais são opostos (positivo pela direita, negativo pela esquerda) — como aqui com
.