Ache cada limite, se existe:
a) \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow a} f(x)
1.1) f(x)=\frac{|x-4|}{x-4} \quad \mathrm{a}=4
1.2) f(x)=\frac{x+5}{|x+5|} \quad \mathrm{a}=-5
1.3) f(x)=\sqrt{x+6}+x \quad \mathrm{a}=-6
1.4) f(x)=\sqrt{5-2 x}-x^{2} \quad \mathrm{a}=\frac{5}{2}
1.5) f(x)=\frac{1}{x^{3}} \quad \mathrm{a}=0
1.6) f(x)=\frac{1}{x-8} \quad \mathrm{a}=8
Passo 1
O enunciado pede, para cada função dada e ponto a, os três limites:
(a) \lim_{x\to a^{-}} f(x) (limite pela esquerda),
(b) \lim_{x\to a^{+}} f(x) (limite pela direita),
(c) \lim_{x\to a} f(x) (limite bilateral).\n
As funções e pontos são:
1.1) f(x)=\dfrac{|x-4|}{x-4}, a=4.
1.2) f(x)=\dfrac{x+5}{|x+5|}, a=-5.
1.3) f(x)=\sqrt{x+6}+x, a=-6.
1.4) f(x)=\sqrt{5-2x}-x^{2}, a=\dfrac{5}{2}.
1.5) f(x)=\dfrac{1}{x^{3}}, a=0.
1.6) f(x)=\dfrac{1}{x-8}, a=8.
Passo 2
Antes de atacar cada caso, algumas ideias práticas e úteis (tipo “truques de prova”):
Definição/ideia de limite pela esquerda e pela direita: \lim_{x\to a^-} f(x)\) significa observar \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima de \(a\) por valores menores que \(a\). \(\lim_{x\to a^+} f(x)\) é o mesmo, mas por valores maiores que \(a\). O limite bilateral \(\lim_{x\to a} f(x)\) existe só se os dois forem iguais.
- Se a função não está definida para \(x<a\) (ou para \(x>a\)), então o limite pela esquerda (ou pela direita) não existe porque não há valores de \(x\) naquela vizinhança. Dito de outro modo: o limite lateral só pode existir se a função estiver definida em pontos arbitrariamente próximos a \(a\) pelo lado considerado (exceto possivelmente em \(a\) mesmo).
- Algumas funções comuns são contínuas em seu domínio: polinômios e a função \(\sqrt{\cdot}\) (no domínio onde a raiz está definida) são contínuas. Se uma função é soma/composição de funções contínuas em \(a\), o limite pela direção em que está definida é só o valor avaliado.
- Para expressões com valor absoluto, use a identidade (para \(u\neq0\)):
\[\frac{|u|}{u}=\begin{cases} 1, & u>0,\\[4pt] -1, & u<0. \end{cases}
No contexto de \dfrac{|x-4|}{x-4}\], isso equivale a analisar os sinais de \(x-4 para x<4 e x>4.
Para frações com denominação que vai a zero, observe o sinal do denominador ao aproximar-se do ponto: se o denominador se aproxima de 0 por valores positivos, a fração tende a +\infty (se o numerador tende a um número positivo fixo), ou a -\infty se o numerador for negativo fixo. Para potências ímpares, o sinal do denominador pequeno mantém o sinal do x pequeno (por exemplo x^3 mantém o sinal de x).
Agora vamos aplicar essas ideias caso a caso, mostrando passo a passo como obter cada limite.]
Passo 3
Caso 1.1: [f(x)=\dfrac{|x-4|}{x-4}), a=4.
Primeiro observe que para x\neq4 podemos usar a identidade do valor absoluto com u=x-4:
Portanto para x\] próximo de \(4 por valores menores que 4 (pela esquerda) temos f(x)=-1. Assim
\lim_{x\to 4^-} f(x)=-1.
Para x próximo de 4 por valores maiores que 4 (pela direita) temos f(x)=1. Assim
\lim_{x\to 4^+} f(x)=1.
Como os limites laterais são diferentes (-1 e 1), o limite bilateral não existe:
\lim_{x\to 4} f(x)\\ \text{não existe}.ã
Observação prática para a prova: uma maneira curta é notar que \dfrac{|x-4|}{x-4}=\operatorname{sgn}(x-4) para x\neq4, portanto toma valores -1 ou 1 conforme o lado.]
Passo 4
Caso 1.2: [f(x)=\dfrac{x+5}{|x+5|}), a=-5.
Aqui é análogo ao anterior com u=x+5. Para x\neq -5:
Limite pela esquerda (x\to -5^-\]): \(x<-5 então f(x)=-1. Logo
\lim_{x\to -5^-} f(x)=-1.
Limite pela direita (x\to -5^+): x>-5 então f(x)=1. Logo
\lim_{x\to -5^+} f(x)=1.
Como os dois laterais diferem, o limite bilateral não existe:
\lim_{x\to -5} f(x)\\ \text{não existe}.ã]
Passo 5
Caso 1.3: f(x)=\sqrt{x+6}+x, a=-6.
Primeiro determine o domínio da função devido à raiz: para \sqrt{x+6} precisamos de x+6\ge 0, ou seja x\ge -6. Logo a função está definida apenas para x\ge -6. Isso já dá uma pista: não existem valores de x menores que -6 nos quais a função esteja definida, então não há como fazer x\to -6 vindo da esquerda. Portanto o limite pela esquerda não existe (porque a função não está definida nessa vizinhança pela esquerda).
Para o limite pela direita, tanto x\mapsto \sqrt{x+6} quanto x\mapsto x são contínuas em seu domínio, logo a soma é contínua em x=-6 pelo lado direito. Assim podemos avaliar:
\lim_{x\to -6^+} f(x)=\sqrt{-6+6}+(-6)=0-6=-6.
Como o limite pela esquerda não existe (função não definida para x<-6), o limite bilateral também não existe:
Observação de prova: sempre verifique o domínio antes de tentar limites que envolvem raízes.
Passo 6
Caso 1.4: f(x)=\sqrt{5-2x}-x^{2}, a=\dfrac{5}{2}.
Determine o domínio pela raiz: precisamos de 5-2x\ge 0, isto é x\le \dfrac{5}{2}. Logo a função só está definida para x\le \dfrac{5}{2}. Portanto não existem valores de x maiores que \dfrac{5}{2} na vizinhança, então o limite pela direita (x\to (5/2)^+) não existe.
Para o limite pela esquerda, como \sqrt{5-2x} é contínua em seu domínio e x^2 também é contínuo, a expressão é contínua para x próximos de \dfrac{5}{2} por valores menores que \dfrac{5}{2}. Assim o limite pela esquerda é simplesmente o valor ao substituir x=\dfrac{5}{2}:
Conclusão: limite pela direita não existe (função não definida para x>\tfrac{5}{2}), limite pela esquerda é -\dfrac{25}{4}, logo o limite bilateral não existe.
Passo 7
Caso 1.5: f(x)=\dfrac{1}{x^{3}}, a=0.
A função não está definida em x=0. Precisamos ver o comportamento quando x se aproxima de 0 pelos dois lados.
Para x\to 0^+ ( x positivo e pequeno), temos x^{3}>0 pequeno, então \dfrac{1}{x^{3}} cresce sem limite superior: tende a +\infty. Formalmente,
\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^{3}}=+\infty.
Para x\to 0^- ( x negativo e de pequena magnitude), x^{3} é negativo e pequeno em magnitude, então \dfrac{1}{x^{3}} tende a -\infty:
\lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x^{3}}=-\infty.
Como os limites laterais divergem em sinais opostos, o limite bilateral não existe (diverge).
Passo 8
Caso 1.6: f(x)=\dfrac{1}{x-8}, a=8.
Similar ao caso anterior, a função não está definida em x=8. Observe o sinal do denominador quando x se aproxima de 8 por cada lado.
Para x\to 8^+: x-8>0 pequeno, então \dfrac{1}{x-8}\to +\infty.
\lim_{x\to 8^+} \frac{1}{x-8}=+\infty.
Para x\to 8^-: x-8<0 pequeno (valor negativo com pequena magnitude), então \dfrac{1}{x-8}\to -\infty.
\lim_{x\to 8^-} \frac{1}{x-8}=-\infty.
Portanto o limite bilateral \lim_{x\to 8} \dfrac{1}{x-8} não existe.
Resposta
1.1) \lim_{x\to4^-}f(x)=-1,\\ \lim_{x\to4^+}f(x)=1,\\ \lim_{x\to4}f(x)\text{ não existe}ã
1.2) \lim_{x\to-5^-}f(x)=-1,\\ \lim_{x\to-5^+}f(x)=1,\\ \lim_{x\to-5}f(x)\text{ não existe}ã
1.3) \lim_{x\to-6^-}f(x)\text{ não existe},\\ \lim_{x\to-6^+}f(x)=-6,\\ \lim_{x\to-6}f(x)\text{ não existe}ãã
1.4) \lim_{x\to(5/2)^-}f(x)=-\dfrac{25}{4},\\ \lim_{x\to(5/2)^+}f(x)\text{ não existe},\\ \lim_{x\to(5/2)}f(x)\text{ não existe}ãã
1.5) \lim_{x\to0^-}\dfrac{1}{x^3}=-\infty,\\ \lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x^3}=+\infty,\\ \lim_{x\to0}\dfrac{1}{x^3}\text{ não existe}ã
1.6) \lim_{x\to8^-}\dfrac{1}{x-8}=-\infty,\\ \lim_{x\to8^+}\dfrac{1}{x-8}=+\infty,\\ \lim_{x\to8}\dfrac{1}{x-8}\text{ não existe}ã