Ache cada limite, se existe:
(a) \lim_{x \rightarrow a} f(x)
(b) \lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x)
(c) \lim_{x \rightarrow a} f(x)
f(x)=\frac{x+5}{|x+5|} ;\quad a=-5

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x+5}{|x+5|}
e o ponto a=-5. Pede três limites:
(a) \lim_{x\to a} f(x),
(b) \lim_{x\to a^{-}} f(x),
(c) \lim_{x\to a} f(x).
Observações extra (retidas apenas como dados do enunciado):
  • A função envolve valor absoluto |x+5|.
  • Em x=-5 o numerador e o denominador ficam nulos (denominador zero), o que sugere atenção ao comportamento lateral.

Passo 2

Entender como funciona o valor absoluto é a chave. Lembrete prático:
|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui u=x+5. Então há duas regiões em torno de x=-5:
  • Se x+5>0 (ou seja, x>-5), então |x+5|=x+5.
  • Se x+5<0 (ou seja, x<-5), então |x+5|=-(x+5).]

Passo 3

Simplificar f(x) em cada região usando a definição do valor absoluto.
Para x>-5:
|x+5|=x+5 \quad\Rightarrow\quad f(x)=\frac{x+5}{x+5}=1.
Essa simplificação é válida para todo x com x>-5 (exceto pontos onde a expressão original fosse indeterminada, mas aqui o denominador não é zero se x>-5).
Para x<-5:
|x+5|=-(x+5) \quad\Rightarrow\quad f(x)=\frac{x+5}{-(x+5)}=-1.
Logo, para x<-5 a função vale -1.
Importante: em x=-5 a expressão original tem denominador zero, então f(-5) NÃO está definida.
Resumo do comportamento próximo a a=-5:
  • Se x se aproxima de -5 vindo pela direita ( x>-5), f(x)=1.
  • Se x se aproxima de -5 vindo pela esquerda ( x<-5), f(x)=-1.

Passo 4

Calcular o limite à esquerda \lim_{x\to a^{-}} f(x).
Ao aproximar x de -5 pela esquerda temos sempre x<-5, então por passo anterior f(x)=-1 para esses x. Portanto o valor que f(x) tende quando x\to -5^{-} é
\lim_{x\to -5^{-}} f(x) = -1.
Uma maneira alternativa (mais “sequencial”): tomar x_n=-5-\tfrac{1}{n}. Para todo n temos f(x_n)=-1, logo a sequência de imagens tende para -1.

Passo 5

Calcular o limite à direita \lim_{x\to a^{+}} f(x).
Ao aproximar x de -5 pela direita temos x>-5, então f(x)=1 nessa região. Logo
\lim_{x\to -5^{+}} f(x) = 1.
Novamente, exemplo com sequência: x_n=-5+\tfrac{1}{n} f(x_n)=1 para todo n, tendência 1.

Passo 6

Concluir sobre o limite bilateral \lim_{x\to a} f(x).
Definição prática: \lim_{x\to a} f(x) existe se, e somente se, os limites laterais existem e são iguais:
\lim_{x\to a} f(x) \text{ existe } \iff \lim_{x\to a^{-}} f(x)=\lim_{x\to a^{+}} f(x).
Aqui encontramos \lim_{x\to -5^{-}} f(x) = -1 e \lim_{x\to -5^{+}} f(x) = 1. Como -1\neq 1, os limites laterais são diferentes, portanto o limite bilateral não existe.

Resposta

(a) não existe\n
(b) -1\n
(c) 1

Exercícios relacionados