Ache cada limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x-100}{\sqrt{x^{2}+100}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a +\infty da função
\frac{x-100}{\sqrt{x^{2}+100}}.
Informações dadas:
  • A variável x cresce sem limite para valores positivos grandes ( x\to\infty).
  • A expressão envolve uma diferença no numerador x-100 e uma raiz quadrada no denominador \sqrt{x^2+100}.

Passo 2

Vamos enxergar o comportamento para x muito grande: termos constantes como 100 tendem a ser desprezíveis na comparação com termos que crescem como x ou x^2. Uma técnica prática é fatorar o maior crescimento (aqui, x) para simplificar a expressão e ver o que sobra em termos de frações que vão para zero. Antes de fatorar, é importante lembrar uma identidade útil:
\sqrt{x^{2}} = |x|.
Para x\to\infty temos x>0, logo |x|=x. Isso evita erros de sinal ao simplificar a raiz.

Passo 3

Fatorando x no numerador e x^{2} dentro da raiz no denominador:
\frac{x-100}{\sqrt{x^{2}+100}} = \frac{x\left(1-\dfrac{100}{x}\right)}{\sqrt{x^{2}\left(1+\dfrac{100}{x^{2}}\right)}}.
Agora uso a propriedade da raiz:
\sqrt{x^{2}\left(1+\dfrac{100}{x^{2}}\right)} = |x|\sqrt{1+\dfrac{100}{x^{2}}}.
Como estamos considerando x\to\infty (isto é, x>0 suficientemente grande), temos |x|=x. Portanto a expressão simplifica para
\frac{x\left(1-\dfrac{100}{x}\right)}{x\sqrt{1+\dfrac{100}{x^{2}}}} = \frac{1-\dfrac{100}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{100}{x^{2}}}}.

Passo 4

Agora aplicamos propriedades elementares de limites: se \dfrac{100}{x}\to 0 e \dfrac{100}{x^{2}}\to 0 quando x\to\infty, então as partes da fração tendem a constantes fáceis de avaliar. Mais formalmente,
\lim_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{100}{x}\right)=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty}\sqrt{1+\dfrac{100}{x^{2}}}=\sqrt{1+0}=1,
pois a função \sqrt{\cdot} é contínua perto de 1. Assim, pelo limite do quociente,
\lim_{x\to\infty}\frac{1-\dfrac{100}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{100}{x^{2}}}}=\frac{1}{1}=1.

Passo 5

Resumo e interpretação: ao dividir termos dominantes e usar que termos com 1/x e 1/x^{2} vão a zero, a expressão inteira converge para 1. Intuitivamente, para x muito grande o -100 e o +100 são insignificantes, e a razão se comporta como \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}}}=\dfrac{x}{x}=1.

Resposta

1

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