Ache cada limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a
da função
Informações dadas:
- A variável
cresce sem limite para valores positivos grandes ( ). - A expressão envolve uma diferença no numerador
e uma raiz quadrada no denominador .
Passo 2
Vamos enxergar o comportamento para
muito grande: termos constantes como
tendem a ser desprezíveis na comparação com termos que crescem como
ou
. Uma técnica prática é fatorar o maior crescimento (aqui,
) para simplificar a expressão e ver o que sobra em termos de frações que vão para zero. Antes de fatorar, é importante lembrar uma identidade útil:
Para
temos
, logo
. Isso evita erros de sinal ao simplificar a raiz.
Passo 3
Fatorando
no numerador e
dentro da raiz no denominador:
Agora uso a propriedade da raiz:
Como estamos considerando
(isto é,
suficientemente grande), temos
. Portanto a expressão simplifica para
Passo 4
Agora aplicamos propriedades elementares de limites: se
e
quando
, então as partes da fração tendem a constantes fáceis de avaliar. Mais formalmente,
pois a função
é contínua perto de
. Assim, pelo limite do quociente,
Passo 5
Resumo e interpretação: ao dividir termos dominantes e usar que termos com
e
vão a zero, a expressão inteira converge para
. Intuitivamente, para
muito grande o
e o
são insignificantes, e a razão se comporta como
.