Ache cada limite, se existir.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado. O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- O numerador é a expressão
, um polinômio de grau . - O denominador é
, uma expressão cujo desenvolvimento é um polinômio de grau em .
A pergunta é: qual é o valor desse limite quandovai para ?
Passo 2
Estratégia (por que vamos fazer assim). Quando temos uma razão entre polinômios (ou expressão polinomial no denominador) e queremos o comportamento quando
é grande, uma abordagem segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador — aqui é
. Isso permite ver claramente quais termos vão a zero e qual é o coeficiente dominante. Outra observação útil (intuição): se o grau do denominador é maior que o grau do numerador, o limite costuma ser
. Vou fazer a demonstração algébrica dividindo por
.
Passo 3
Dividir numerador e denominador por
. Escrevendo a expressão original e dividindo por
(note que isso é algebraicamente válido para
, e o comportamento quando
não depende do sinal em
):
Aqui fiz:
- no numerador:
; - no denominador:
.
Passo 4
Calcular os limites de cada parte que aparece. Quando
vale:
-
, porque . -
, porque e . -
, então .
Assim a expressão dentro do limite tende a
Passo 5
Intuição e verificação rápida por aproximação assintótica (opcional, para confirmar). Para
muito grande a expressão se comporta como
Quando
tem-se
, logo a expressão aproximada também tende a
. Isso confirma o resultado do passo anterior.
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