Ache cada limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{6-7 x}{(3+2 x)^{4}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado. O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{6-7x}{(3+2x)^{4}}.
Informações relevantes dadas:
  • O numerador é a expressão 6-7x, um polinômio de grau 1.
  • O denominador é (3+2x)^{4}, uma expressão cujo desenvolvimento é um polinômio de grau 4 em x.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite quando x vai para -\infty?

Passo 2

Estratégia (por que vamos fazer assim). Quando temos uma razão entre polinômios (ou expressão polinomial no denominador) e queremos o comportamento quando |x| é grande, uma abordagem segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador — aqui é x^{4}. Isso permite ver claramente quais termos vão a zero e qual é o coeficiente dominante. Outra observação útil (intuição): se o grau do denominador é maior que o grau do numerador, o limite costuma ser 0. Vou fazer a demonstração algébrica dividindo por x^{4}.

Passo 3

Dividir numerador e denominador por x^{4}. Escrevendo a expressão original e dividindo por x^{4} (note que isso é algebraicamente válido para x\neq 0, e o comportamento quando |x|\to\infty não depende do sinal em x=0):
\frac{6-7x}{(3+2x)^{4}} = \frac{\dfrac{6}{x^{4}}-\dfrac{7}{x^{3}}}{\left(\dfrac{3}{x}+2\right)^{4}}.
Aqui fiz:
  • no numerador: \dfrac{6-7x}{x^{4}}=\dfrac{6}{x^{4}}-\dfrac{7}{x^{3}};
  • no denominador: \dfrac{(3+2x)^{4}}{x^{4}}=\bigl(\dfrac{3}{x}+2\bigr)^{4}.

Passo 4

Calcular os limites de cada parte que aparece. Quando x\to -\infty vale:
  • \dfrac{6}{x^{4}}\to 0, porque x^{4}\to +\infty.
  • \dfrac{7}{x^{3}}\to 0, porque x^{3}\to -\infty e 7/x^{3}\to 0.
  • \dfrac{3}{x}+2 \to 0+2 = 2, então \bigl(\dfrac{3}{x}+2\bigr)^{4}\to 2^{4}=16.
Assim a expressão dentro do limite tende a
\frac{0-0}{16}=\frac{0}{16}=0.

Passo 5

Intuição e verificação rápida por aproximação assintótica (opcional, para confirmar). Para |x| muito grande a expressão se comporta como
\frac{6-7x}{(3+2x)^{4}}\approx\frac{-7x}{(2x)^{4}}=\frac{-7x}{16x^{4}}=-\frac{7}{16}\cdot\frac{1}{x^{3}}.
Quando x\to -\infty tem-se 1/x^{3}\to 0, logo a expressão aproximada também tende a 0. Isso confirma o resultado do passo anterior.

Resposta

0

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