Ache cada limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde se quer o limite é
.
O que se pede: determinar o valor do limite quandose aproxima de . Neste passo não vou resolver nada ainda — só deixei claro o que é solicitado e os dados.
Passo 2
Primeira observação: tentar a substituição direta para ver se o limite é um número finito.
Calcular :
Calcular
Portanto, ao substituir
no denominador obtemos zero, e a expressão fica
, ou seja, divisão por zero. Isso indica que o limite não será um número finito; pode divergir para
ou não existir. Antes de concluir, precisamos analisar como a expressão se comporta ao nos aproximarmos do ponto pela esquerda e pela direita.
Passo 3
Reescrevo a função isolando a diferença
para ver o comportamento quando
se aproxima de
:
logo
Explicação didática: quando
a quantidade
tende a
. O recíproco
fica com magnitude muito grande, e o sinal depende do sinal de
. O fator
só escala essa grandeza (multiplica por
), não muda o fato de que a expressão pode divergir.
Passo 4
Analisar limites laterais (pela esquerda e pela direita), usando
.
- Se
(ou seja, ), então é pequeno positivo. Assim . Multiplicando por não muda o sinal, então
- Se
(ou seja, ), então é pequeno negativo. Assim . Multiplicando por dá
Um jeito numérico rápido para sentir isso: tomar
(que é maior que
):
Tomar
(menor que
):
À medida que esses desvios passam a ser mais próximos de zero, os valores vão para
conforme mostrado.
Passo 5
Conclusão final sobre o limite bilateral: como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (um tende a
e o outro a
), o limite quando
não existe como número finito. Em linguagem de limites, diz-se que o limite bilateral não existe (ou que a função diverge no ponto), embora os limites laterais existam e sejam infinitos com sinais opostos.
Resposta
Não existe (diverge).