Ache cada limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 3 / 5} \frac{1}{5 x-3}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\displaystyle \lim_{x\to 3/5} \frac{1}{5x-3}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{5x-3}.
  • O ponto onde se quer o limite é x=\dfrac{3}{5}.
    O que se pede: determinar o valor do limite quando x se aproxima de \dfrac{3}{5}. Neste passo não vou resolver nada ainda — só deixei claro o que é solicitado e os dados.

Passo 2

Primeira observação: tentar a substituição direta para ver se o limite é um número finito.
Calcular 5\cdot \dfrac{3}{5}-3:
5\cdot \dfrac{3}{5}-3 = 3-3 = 0.
Portanto, ao substituir x=\dfrac{3}{5} no denominador obtemos zero, e a expressão fica \dfrac{1}{0}, ou seja, divisão por zero. Isso indica que o limite não será um número finito; pode divergir para \pm\infty ou não existir. Antes de concluir, precisamos analisar como a expressão se comporta ao nos aproximarmos do ponto pela esquerda e pela direita.

Passo 3

Reescrevo a função isolando a diferença x-\dfrac{3}{5} para ver o comportamento quando x se aproxima de \dfrac{3}{5}:
5x-3 = 5\Bigl(x-\dfrac{3}{5}\Bigr),
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\frac{1}{5x-3} = \frac{1}{5\bigl(x-\tfrac{3}{5}\bigr)} = \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x-\tfrac{3}{5}}.
Explicação didática: quando x\to \dfrac{3}{5} a quantidade x-\dfrac{3}{5} tende a 0. O recíproco 1/(x-\tfrac{3}{5}) fica com magnitude muito grande, e o sinal depende do sinal de x-\tfrac{3}{5}. O fator \dfrac{1}{5} só escala essa grandeza (multiplica por \tfrac{1}{5}), não muda o fato de que a expressão pode divergir.

Passo 4

Analisar limites laterais (pela esquerda e pela direita), usando h=x-\dfrac{3}{5}.
  • Se x\to \dfrac{3}{5}^+ (ou seja, h\to 0^+), então x-\tfrac{3}{5}>0 é pequeno positivo. Assim \dfrac{1}{x-\tfrac{3}{5}}\to +\infty. Multiplicando por \dfrac{1}{5} não muda o sinal, então
\lim_{x\to \tfrac{3}{5}^+}\frac{1}{5x-3} = +\infty.
  • Se x\to \dfrac{3}{5}^- (ou seja, h\to 0^-), então x-\tfrac{3}{5}<0 é pequeno negativo. Assim \dfrac{1}{x-\tfrac{3}{5}}\to -\infty. Multiplicando por \dfrac{1}{5}
\lim_{x\to \tfrac{3}{5}^-}\frac{1}{5x-3} = -\infty.
Um jeito numérico rápido para sentir isso: tomar x=0{,}61 (que é maior que 3/5=0{,}6):
5\cdot 0{,}61-3 = 0{,}05,\qquad \frac{1}{0{,}05}=20>0.
Tomar x=0{,}59 (menor que 0{,}6):
5\cdot 0{,}59-3 = -0{,}05,\qquad \frac{1}{-0{,}05}=-20<0.
À medida que esses desvios passam a ser mais próximos de zero, os valores vão para \pm\infty conforme mostrado.

Passo 5

Conclusão final sobre o limite bilateral: como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (um tende a -\infty e o outro a +\infty), o limite quando x\to \dfrac{3}{5} não existe como número finito. Em linguagem de limites, diz-se que o limite bilateral não existe (ou que a função diverge no ponto), embora os limites laterais existam e sejam infinitos com sinais opostos.

Resposta

Não existe (diverge).
\displaystyle \lim_{x\to \tfrac{3}{5}^-}\frac{1}{5x-3}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to \tfrac{3}{5}^+}\frac{1}{5x-3}=+\infty

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