Ache cada limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{(2 x-5)(3 x+1)}{(x+7)(4 x-9)}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a -\infty da função racional abaixo:
\lim_{x\to -\infty}\frac{(2x-5)(3x+1)}{(x+7)(4x-9)}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é uma razão de dois polinômios, obtida pelos produtos (2x-5)(3x+1) e (x+7)(4x-9).
  • A variável x tende para -\infty (isso pode afetar sinais de termos com x, mas termos com x^2 são positivos para grandes |x|).

Passo 2

Primeiro vou expandir numerador e denominador para ver claramente os termos de maior grau.
(2x-5)(3x+1)=6x^{2}-13x-5,
(x+7)(4x-9)=4x^{2}+19x-63.
Portanto a função se escreve como
\frac{(2x-5)(3x+1)}{(x+7)(4x-9)}=\frac{6x^{2}-13x-5}{4x^{2}+19x-63}.

Passo 3

Explicando a ideia usada em provas: para limites de uma fração de polinômios quando x\to\pm\infty, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau. Aqui ambos numerador e denominador têm grau 2. Uma forma sistemática de ver isso é dividir numerador e denominador por x^{2} (o maior grau), obtendo termos que tendem a zero quando |x|\to\infty. Faço isso agora:
\frac{6x^{2}-13x-5}{4x^{2}+19x-63} = \frac{\dfrac{6x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{13x}{x^{2}}-\dfrac{5}{x^{2}}}{\dfrac{4x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{19x}{x^{2}}-\dfrac{63}{x^{2}}} = \frac{6-\dfrac{13}{x}-\dfrac{5}{x^{2}}}{4+\dfrac{19}{x}-\dfrac{63}{x^{2}}}.

Passo 4

Agora uso o fato básico sobre limites: quando x\to -\infty (ou +\infty), temos \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0. Observação: \dfrac{1}{x} tende a 0 vindo do lado negativo, mas isso não importa para os termos que multiplicam porque aqui aparecem somando e tendem a 0; já \dfrac{1}{x^{2}} tende a 0 sempre positivo. Assim, no limite:
\lim_{x\to -\infty}\left(6-\dfrac{13}{x}-\dfrac{5}{x^{2}}\right)=6, \qquad \lim_{x\to -\infty}\left(4+\dfrac{19}{x}-\dfrac{63}{x^{2}}\right)=4.

Passo 5

Portanto o limite da razão é a razão dos limites (denominador não zero):
\lim_{x\to -\infty}\frac{6-\dfrac{13}{x}-\dfrac{5}{x^{2}}}{4+\dfrac{19}{x}-\dfrac{63}{x^{2}}}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.
Uma regra prática para a prova (resumindo): se o numerador e o denominador têm o mesmo grau n, o limite quando x\to\pm\infty é a razão dos coeficientes dos termos de grau n.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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