Ache cada limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da função racional abaixo:
Informações relevantes dadas:
- A expressão é uma razão de dois polinômios, obtida pelos produtos
e . - A variável
tende para (isso pode afetar sinais de termos com , mas termos com são positivos para grandes ).
Passo 2
Primeiro vou expandir numerador e denominador para ver claramente os termos de maior grau.
Portanto a função se escreve como
Passo 3
Explicando a ideia usada em provas: para limites de uma fração de polinômios quando
, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau. Aqui ambos numerador e denominador têm grau
. Uma forma sistemática de ver isso é dividir numerador e denominador por
(o maior grau), obtendo termos que tendem a zero quando
. Faço isso agora:
Passo 4
Agora uso o fato básico sobre limites: quando
(ou
), temos
e
. Observação:
tende a
vindo do lado negativo, mas isso não importa para os termos que multiplicam porque aqui aparecem somando e tendem a
; já
tende a
sempre positivo. Assim, no limite:
Passo 5
Portanto o limite da razão é a razão dos limites (denominador não zero):
Uma regra prática para a prova (resumindo): se o numerador e o denominador têm o mesmo grau
, o limite quando
é a razão dos coeficientes dos termos de grau
.