Ache cada limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 5 / 2^{-}}\left(\sqrt{5-2 x}-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite lateral
\lim_{x\to 5/2^{-}}\big(\sqrt{5-2x}-x^{2}\big).
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão é \sqrt{5-2x}-x^{2}.
  • O limite é quando x se aproxima de \tfrac{5}{2} pela esquerda (ou seja, por valores x<\tfrac{5}{2} que se aproximam de \tfrac{5}{2}).
  • É importante notar o domínio da raiz quadrada: a expressão \sqrt{5-2x} só está definida quando 5-2x\ge 0, isto é, para x\le \tfrac{5}{2}. Portanto aproximar por x\to\tfrac{5}{2}^{-} está dentro do domínio.

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades úteis sobre limites que vou usar e explicar de forma simples:
  • Se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem finitos, então
\lim_{x\to a}\big(f(x)-g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x).
Isto é uma regra básica de operações com limites (somar/subtrair limites).
  • Funções contínuas podem ser avaliadas por substituição: se h é contínua em b e \lim_{x\to a}u(x)=b, então \lim_{x\to a} h(u(x))=h(b).
Vou aplicar essas ideias com f(x)=\sqrt{5-2x} e g(x)=x^{2}.

Passo 3

Primeiro verifico os limites separados:
  • \lim_{x\to 5/2^{-}} x^{2} é simples porque x^{2} é um polinômio (função contínua em todo lugar). Logo por substituição
\lim_{x\to 5/2^{-}} x^{2} = \left(\tfrac{5}{2}\right)^{2} = \tfrac{25}{4}.

Passo 4

Agora o termo com raiz: considero h(t)=\sqrt{t} e a função interna t(x)=5-2x.
  • A função h(t)=\sqrt{t} é contínua em todo t\ge 0.
  • Quando x\to \tfrac{5}{2}^{-} temos t(x)=5-2x \to 5-2\cdot\tfrac{5}{2}=0. Além disso, aproximando pela esquerda garante t(x)\ge 0 (pois estamos no domínio).
    Pelo princípio da substituição para funções contínuas,
\lim_{x\to 5/2^{-}} \sqrt{5-2x} = \sqrt{\,\lim_{x\to 5/2^{-}}(5-2x)\,} = \sqrt{0} = 0.

Passo 5

Como ambos os limites parciais existem e são finitos, uso a regra da diferença de limites (Passo 2). Portanto
\lim_{x\to 5/2^{-}}\big(\sqrt{5-2x}-x^{2}\big) = \lim_{x\to 5/2^{-}}\sqrt{5-2x} \;-\; \lim_{x\to 5/2^{-}}x^{2} = 0 - \tfrac{25}{4}.

Passo 6

Concluo que o limite existe e é igual a
-\tfrac{25}{4}.

Resposta

-\tfrac{25}{4}

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