Em cada caso, dê exemplos, quando possível, de operadores lineares “diagonalizáveis” tais que:
(d) L do P_{2}(\mathbb{R}) cuja imagem é gerada por 1+t e -t.

Passo 1

O espaço vetorial aqui é \;P_{2}(\mathbb{R}), de dimensão 3. Queremos um operador linear
L: P_{2}(\mathbb{R}) \to P_{2}(\mathbb{R})
que seja diagonalizável e cuja imagem seja exatamente o subespaço gerado pelos polinômios 1+t e -t.

Passo 2

Para ter \mathrm{Im}(L)=\langle 1+t,\,-t\rangle e ainda diagonalizar L, escolhemos estes dois geradores como autovetores não nulos, e mais um terceiro autovetor para completar a base de P_{2}(\mathbb{R}). Por exemplo, defina
u_{1}=1+t,\quad u_{2}=-t,\quad u_{3}=t^{2}.
Então \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é uma base de P_{2}(\mathbb{R}).

Passo 3

Atribuímos autovalores diferentes para u_{1} e u_{2} (não zero, para que fiquem na imagem) e autovalor zero a u_{3} (assim u_{3} vai para o kernel e não entra na imagem). Por exemplo, escolhemos
\lambda_{1}=1,\quad \lambda_{2}=2,\quad \lambda_{3}=0.
Definimos então L por
L(u_{1})=\lambda_{1}\,u_{1}=1\cdot(1+t),\quad L(u_{2})=\lambda_{2}\,u_{2}=2\cdot(-t),\quad L(u_{3})=\lambda_{3}\,u_{3}=0.

Passo 4

Como L envia u_{1} e u_{2} em múltiplos deles, e u_{3} em zero, a matriz de L na base \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é diagonal
\mathrm{Mat}_{\{u\}}(L) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
que mostra imediatamente que L é diagonalizável. Além disso
\mathrm{Im}(L)=\langle L(u_{1}),\,L(u_{2})\rangle =\langle 1+t,\,-t\rangle,
como exigido.

Resposta

Um exemplo concreto é definir, para todo polinômio p escrito na base \{u_{1},u_{2},u_{3}\} como
p=a\,(1+t)+b\,(-t)+c\,t^{2},
o operador
L(p)=a\,(1+t)+2b\,(-t).
Na base \{1+t,\,-t,\,t^{2}\} a matriz de L é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
portanto L é diagonalizável e \mathrm{Im}(L)=\langle 1+t,\,-t\rangle.

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