Em cada caso, dê exemplos, quando possível, de operadores lineares “diagonalizáveis” tais que:
(d) L do P_{2}(\mathbb{R}) cuja imagem é gerada por 1+t e -t.
Passo 1
O espaço vetorial aqui é \;P_{2}(\mathbb{R}), de dimensão 3. Queremos um operador linear
L: P_{2}(\mathbb{R}) \to P_{2}(\mathbb{R})
que seja diagonalizável e cuja imagem seja exatamente o subespaço gerado pelos polinômios 1+t e -t.
Passo 2
Para ter \mathrm{Im}(L)=\langle 1+t,\,-t\rangle e ainda diagonalizar L, escolhemos estes dois geradores como autovetores não nulos, e mais um terceiro autovetor para completar a base de P_{2}(\mathbb{R}). Por exemplo, defina
u_{1}=1+t,\quad u_{2}=-t,\quad u_{3}=t^{2}.
Então \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é uma base de P_{2}(\mathbb{R}).
Passo 3
Atribuímos autovalores diferentes para u_{1} e u_{2} (não zero, para que fiquem na imagem) e autovalor zero a u_{3} (assim u_{3} vai para o kernel e não entra na imagem). Por exemplo, escolhemos