Ache ou calcule a integral.
\(\int_{0}^{3}\left(x^{2}-3 x+1\right) d x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3}\bigl(x^{2}-3x+1\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de polinômios e aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b)-F(a),
onde F é uma primitiva de f.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva F(x) de f(x)=x^{2}-3x+1. Integramos termo a termo:
\int x^{2}\,dx = \tfrac{1}{3}x^{3},\quad \int(-3x)\,dx = -\tfrac{3}{2}x^{2},\quad \int1\,dx = x.
Logo, uma primitiva é
F(x) = \tfrac{1}{3}x^{3} - \tfrac{3}{2}x^{2} + x.

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{3}\bigl(x^{2}-3x+1\bigr)\,dx = F(3) - F(0).
Calculando
F(3) = \tfrac{1}{3}\cdot 3^{3} - \tfrac{3}{2}\cdot 3^{2} + 3 = 9 - \tfrac{27}{2} + 3 = 12 - \tfrac{27}{2} = -\tfrac{3}{2},
e
F(0) = 0.

Resposta

-\tfrac{3}{2}

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