(2,0 pontos) Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume de 20 m^{3}. O comprimento de sua base é o do bro da largura. O material para a base custa \mathrm{R} \ 10,00 por metro qua drado. O material para os lados custa\mathrm{R} $6,00$ por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato desses contêineres.

Passo 1

O enunciado pede encontrar as dimensões de um contêiner aberto (sem tampa) de base retangular, com volume fixo de 20\:\mathrm{m}^3, em que o comprimento L da base é o dobro da largura W L=2W. O material da base custa \mathrm{R}\$10 por \mathrm{m}^2 e o dos quatro lados custa \mathrm{R}\$6 por \mathrm{m}^2. Como precisamos minimizar o custo total em função de uma variável sujeita à restrição de volume, usaremos otimização com derivadas.

Passo 2

Denotando a altura por H, o volume é
V = L \,W\,H = 20.
O custo total C (em reais) é soma do custo da base mais o custo dos quatro lados:
C = 10\,(L\,W) \;+\; 6\bigl(2\,(L\,H + W\,H)\bigr) = 10\,LW + 12\,(L\,H + W\,H).

Passo 3

Usamos a relação L=2W e a restrição de volume para escrever H em função de W:
H = \frac{V}{L\,W} = \frac{20}{2W\cdot W} = \frac{10}{W^2}.

Passo 4

Substituindo L=2W e H=10/W^2 em C, obtemos
C(W) = 10\,(2W\cdot W) + 12\Bigl(2W\cdot \frac{10}{W^2} + W\cdot \frac{10}{W^2}\Bigr) = 20\,W^2 + 12\Bigl(\frac{20}{W} + \frac{10}{W}\Bigr) = 20\,W^2 + \frac{360}{W}.

Passo 5

Para minimizar, calculamos a derivada e igualamos a zero:
C'(W) = 40\,W - \frac{360}{W^2} \quad\Longrightarrow\quad 40\,W = \frac{360}{W^2} \quad\Longrightarrow\quad W^3 = 9 \quad\Longrightarrow\quad W = \sqrt[3]{9}.

Passo 6

No ponto ótimo W=\sqrt[3]{9}, o custo mínimo é
C_{\min} = 20\bigl(\sqrt[3]{9}\bigr)^2 \;+\;\frac{360}{\sqrt[3]{9}} = 20\cdot 9^{\tfrac{2}{3}} + 360\cdot 9^{-\tfrac{1}{3}} = 180\,\sqrt[3]{3}.
Numericamente, \sqrt[3]{3}\approx1,442, logo
C_{\min}\approx 180 \times 1,442 = 259,56.

Resposta

O custo mínimo é
\boxed{C_{\min} = 180\,\sqrt[3]{3}\approx \mathrm{R}\$259,56.}

Exercícios relacionados