(2,0 pontos) Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume de
. O comprimento de sua base é o do bro da largura. O material para a base custa
10,00
\mathrm{R} $6,00$ por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato desses contêineres.
Passo 1
O enunciado pede encontrar as dimensões de um contêiner aberto (sem tampa) de base retangular, com volume fixo de
, em que o comprimento
da base é o dobro da largura
. O material da base custa
por
e o dos quatro lados custa
por
. Como precisamos minimizar o custo total em função de uma variável sujeita à restrição de volume, usaremos otimização com derivadas.
Passo 2
Denotando a altura por
, o volume é
O custo total
(em reais) é soma do custo da base mais o custo dos quatro lados:
Passo 3
Usamos a relação
e a restrição de volume para escrever
em função de
:
Passo 4
Substituindo
e
em
, obtemos
Passo 5
Para minimizar, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 6
No ponto ótimo
, o custo mínimo é
Numericamente,
, logo
Resposta
O custo mínimo é