Ache ou calcule a integral.
\(\int_{0}^{1} x\left(\sqrt{x}+x^{2}\right) d x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x\bigl(\sqrt{x} + x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é a integração de potências de x. Vamos usar a regra do exponencial que diz que
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
válida para n \neq -1.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o integrando distribuindo o x:
x\bigl(\sqrt{x} + x^{2}\bigr) = x\cdot x^{1/2} + x\cdot x^{2} = x^{3/2} + x^{3}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do expoente a cada termo. A antiderivada de x^{3/2} é
\int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{(3/2)+1}}{\tfrac{3}{2}+1} = \frac{x^{5/2}}{\tfrac{5}{2}} = \frac{2}{5}\,x^{5/2},
e a antiderivada de x^{3} é
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Logo, uma primitiva comum para o integrando é
F(x) = \frac{2}{5}\,x^{5/2} + \frac{x^{4}}{4}.

Passo 4

Para a integral definida, avaliamos F(x) de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(x^{3/2}+x^{3}\bigr)\,dx = F(1) - F(0) = \Bigl(\frac{2}{5}\cdot1^{5/2} + \frac{1^{4}}{4}\Bigr) - \Bigl(\frac{2}{5}\cdot0^{5/2} + \frac{0^{4}}{4}\Bigr).
Como 0^{\alpha}=0 para \alpha>0, temos
F(1)-F(0) = \frac{2}{5} + \frac{1}{4} = \frac{8}{20} + \frac{5}{20} = \frac{13}{20}.

Resposta

\int_{0}^{1} x\bigl(\sqrt{x}+x^{2}\bigr)\,dx = \frac{13}{20}.

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