( 6,0 pontos) Considere a função f(x)=\frac{x-2}{x^{2}} para responder os itens abaixo
(a) Determine o domínio da função.
(b) Determine os pontos de interseção como os eixos coordenados, caso haja.
(c) Analise se a curva possui assíntotas. Em caso positivo, encontre-as.
(d) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento da função.
(e) Encontre os valores de máximo ou mínimo locais, caso possua.
(f) Anlise os intervalos em relação a concavidade e determine os pontos de inflexção, caso haja.
(g) Use as informações dos itens anteriores para esboçar o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função
f(x)=\frac{x-2}{x^{2}},
incluindo domínio, interseções com eixos, assíntotas, monotonia (crescimento/decrescimento), extremos locais, concavidade e ponto(s) de inflexão, e finalmente um esboço do gráfico. Vamos usar teoria de funções racionais, cálculo de derivadas primeira e segunda, e interpretação de limites.

Passo 2

Determinar o domínio significa exigir que o denominador seja diferente de zero. Como x^{2}=0 só se x=0, concluímos que o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}.

Passo 3

Para achar as interseções com os eixos coordenados:
– Interseção com o eixo x (zero de f): resolvemos
\frac{x-2}{x^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2.
Logo há interseção em (2,0).
– Interseção com o eixo y: seria f(0), mas x=0 não pertence ao domínio, logo não há intercepto em y.

Passo 4

Assíntotas verticais surgem onde o denominador zera, ou seja x=0. Para x\to0^\pm,
f(x)=\frac{x-2}{x^2}\sim\frac{-2}{x^2}\to -\infty,
então há assíntota vertical x=0.
Para assíntota horizontal, olhamos x\to\pm\infty:
f(x)=\frac{x}{x^2}-\frac{2}{x^2}=\frac1x -\frac2{x^2}\to0.
Logo há assíntota horizontal y=0.

Passo 5

Calculamos a derivada primeira para estudar monotonia. Escrevendo
f(x)=x^{-1}-2\,x^{-2},
temos
f'(x)=-x^{-2}+4\,x^{-3} =\frac{-1}{x^2}+\frac{4}{x^3} =\frac{-x+4}{x^3}.
Soluções de f'(x)=0 dão -x+4=0\Rightarrow x=4. O sinal de f' em cada intervalo:
– Para x<0: numerador -x+4>0, denominador x^3<0 f'<0.
– Para 0<x<4: numerador >0, denominador >0 f'>0.
– Para x>4: numerador <0, denominador >0 f'<0.
Assim, f é decrescente em (-\infty,0) e em (4,\infty), e crescente em (0,4).

Passo 6

Em x=4 a derivada troca de sinal de positiva para negativa, indicando um máximo local. O valor é
f(4)=\frac{4-2}{4^2}=\frac{2}{16}=\frac18.

Passo 7

Para concavidade, calculamos a derivada segunda a partir de
f'(x)=(-x+4)\,x^{-3}.
Derivando:
f''(x) =\bigl(-1\bigr)x^{-3}+(-x+4)\bigl(-3x^{-4}\bigr) =-x^{-3}+3(x-4)x^{-4} =\frac{2x-12}{x^4} =\frac{2(x-6)}{x^4}.
Como x^4>0 para todo x\neq0, o sinal de f'' é dado por x-6:
– Se x<6, f''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo em (-\infty,0)\cup(0,6).
– Se x>6, f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima em (6,\infty).
Em x=6 há mudança de concavidade, ponto de inflexão com
f(6)=\frac{6-2}{6^2}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}.

Passo 8

Esboço do gráfico usando as informações:
– Domínio em dois ramos, quebrado em x=0.
– Para x\to-\infty, f(x)\to0^-; decresce até -\infty quando x\to0^-.
– Para x\to0^+, f(x)\to -\infty; cresce até atingir zero em x=2, depois continua crescendo até o máximo em (4,\tfrac18), e então decresce.
– Ponto de inflexão em (6,\tfrac19).
– Para x\to+\infty, f(x)\to0^+.
Assíntotas verticais x=0 e horizontais y=0 guiam o desenho dos dois ramos.

Resposta

a) Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}.
b) Interseções: com o eixo x em (2,0); sem interseção com o eixo y.
c) Assíntotas: vertical em x=0 e horizontal em y=0.
d) Crescente em (0,4); decrescente em (-\infty,0) e em (4,\infty).
e) Máximo local em x=4 com valor f(4)=\tfrac18.
f) Concavidade para baixo em (-\infty,0)\cup(0,6), para cima em (6,\infty); ponto de inflexão em \bigl(6,\tfrac19\bigr).
g) Gráfico com dois ramos: à esquerda de x=0, decrescendo de 0^- a -\infty; à direita de x=0, subindo de -\infty a zero em x=2, até máximo em (4,\tfrac18), mudando de concavidade em (6,\tfrac19) e decrescendo suavemente para 0^+ quando x\to+\infty.

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