( 6,0 pontos) Considere a função
para responder os itens abaixo
(a) Determine o domínio da função.
(b) Determine os pontos de interseção como os eixos coordenados, caso haja.
(c) Analise se a curva possui assíntotas. Em caso positivo, encontre-as.
(d) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento da função.
(e) Encontre os valores de máximo ou mínimo locais, caso possua.
(f) Anlise os intervalos em relação a concavidade e determine os pontos de inflexção, caso haja.
(g) Use as informações dos itens anteriores para esboçar o gráfico.
(a) Determine o domínio da função.
(b) Determine os pontos de interseção como os eixos coordenados, caso haja.
(c) Analise se a curva possui assíntotas. Em caso positivo, encontre-as.
(d) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento da função.
(e) Encontre os valores de máximo ou mínimo locais, caso possua.
(f) Anlise os intervalos em relação a concavidade e determine os pontos de inflexção, caso haja.
(g) Use as informações dos itens anteriores para esboçar o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função
incluindo domínio, interseções com eixos, assíntotas, monotonia (crescimento/decrescimento), extremos locais, concavidade e ponto(s) de inflexão, e finalmente um esboço do gráfico. Vamos usar teoria de funções racionais, cálculo de derivadas primeira e segunda, e interpretação de limites.
Passo 2
Determinar o domínio significa exigir que o denominador seja diferente de zero. Como
só se
, concluímos que o domínio é
Passo 3
Para achar as interseções com os eixos coordenados:
– Interseção com o eixo (zero de
): resolvemos
– Interseção com o eixo
Logo há interseção em
.
– Interseção com o eixo : seria
, mas
não pertence ao domínio, logo não há intercepto em
.
– Interseção com o eixo
Passo 4
Assíntotas verticais surgem onde o denominador zera, ou seja
. Para
,
então há assíntota vertical
.
Para assíntota horizontal, olhamos :
Para assíntota horizontal, olhamos
Logo há assíntota horizontal
.
Passo 5
Calculamos a derivada primeira para estudar monotonia. Escrevendo
temos
Soluções de
dão
. O sinal de
em cada intervalo:
– Para : numerador
, denominador
⇒
.
– Para : numerador
, denominador
⇒
.
– Para : numerador
, denominador
⇒
.
Assim, é decrescente em
e em
, e crescente em
.
– Para
– Para
– Para
Assim,
Passo 6
Em
a derivada troca de sinal de positiva para negativa, indicando um máximo local. O valor é
Passo 7
Para concavidade, calculamos a derivada segunda a partir de
Derivando:
Como
para todo
, o sinal de
é dado por
:
– Se ,
⇒ concavidade para baixo em
.
– Se ,
⇒ concavidade para cima em
.
Em há mudança de concavidade, ponto de inflexão com
– Se
– Se
Em
Passo 8
Esboço do gráfico usando as informações:
– Domínio em dois ramos, quebrado em .
– Para ,
; decresce até
quando
.
– Para ,
; cresce até atingir zero em
, depois continua crescendo até o máximo em
, e então decresce.
– Ponto de inflexão em .
– Para ,
.
Assíntotas verticais e horizontais
guiam o desenho dos dois ramos.
– Domínio em dois ramos, quebrado em
– Para
– Para
– Ponto de inflexão em
– Para
Assíntotas verticais
Resposta
a) Domínio:
.
b) Interseções: com o eixo em
; sem interseção com o eixo
.
c) Assíntotas: vertical em e horizontal em
.
d) Crescente em ; decrescente em
e em
.
e) Máximo local em com valor
.
f) Concavidade para baixo em , para cima em
; ponto de inflexão em
.
g) Gráfico com dois ramos: à esquerda de , decrescendo de
a
; à direita de
, subindo de
a zero em
, até máximo em
, mudando de concavidade em
e decrescendo suavemente para
quando
.
b) Interseções: com o eixo
c) Assíntotas: vertical em
d) Crescente em
e) Máximo local em
f) Concavidade para baixo em
g) Gráfico com dois ramos: à esquerda de