Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada.
f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede um campo vetorial conservativo F cuja função potencial é
f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Para encontrar F, basta calcular o gradiente de f, pois todo campo definido como F=\nabla f é conservativo por construção.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Como f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}, vale:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) =\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) =\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, \quad \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) =\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.

Passo 3

Reunindo as componentes temos o gradiente:
\nabla f(x,y,z) =\Bigl(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\; \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\; \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\Bigr).
Esse é o campo vetorial procurado, definido em \mathbb{R}^{3}\setminus\{(0,0,0)\} (já que em (0,0,0) a função não é diferenciável).

Resposta

F(x,y,z) =\nabla f(x,y,z) =\Bigl(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\; \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\; \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\Bigr).

Exercícios relacionados