Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada.
f(x, y, z)=2 x^{3}-3 x^{2} y+x y^{2}-4 y^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a função potencial f(x,y,z)=2x^{3}-3x^{2}y+xy^{2}-4y^{3} e pede um campo vetorial conservativo associado. Como um campo vetorial conservativo é dado pelo gradiente da função potencial, vamos calcular \nabla f.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x.
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{3}-3x^{2}y+xy^{2}-4y^{3}\bigr) =6x^{2}-6xy+y^{2}.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y.
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{3}-3x^{2}y+xy^{2}-4y^{3}\bigr) =-3x^{2}+2xy-12y^{2}.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de f em relação a z.
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(2x^{3}-3x^{2}y+xy^{2}-4y^{3}\bigr) =0,
pois f não depende de z.

Resposta

O campo vetorial conservativo é
\mathbf{F}(x,y,z) =\nabla f(x,y,z) =\bigl(6x^{2}-6xy+y^{2},\,-3x^{2}+2xy-12y^{2},\,0\bigr).

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