Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para provar que ele é conservativo e, em seguida, encontrar uma função potencial
tal que
.
O conteúdo aqui é o estudo de campos conservativos em . Vamos usar o fato de que, em um domínio simplesmente conexo como
, um campo
é conservativo se e somente se
O conteúdo aqui é o estudo de campos conservativos em
Passo 2
Primeiro observamos que
está definido em todo
, que é simplesmente conexo. Então basta verificar
e calcular os parciais cruzados:
Como
, o rotor de
é zero e, em
(domínio simplesmente conexo),
é conservativo.
Passo 3
Para encontrar uma função potencial
, escrevemos
e integramos em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Agora usamos a condição
Do nosso
temos
Igualando a
obtemos
com
constante.
Resposta
Uma função potencial é
onde
é constante arbitrária.