Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.
F(x, y)=e^{x} \operatorname{sen} y \mathbf{i}+e^{x} \cos y \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=e^{x}\sin y\,\mathbf{i}+e^{x}\cos y\,\mathbf{j}
e pede para provar que ele é conservativo e, em seguida, encontrar uma função potencial f tal que \nabla f=F.
O conteúdo aqui é o estudo de campos conservativos em \mathbb{R}^2. Vamos usar o fato de que, em um domínio simplesmente conexo como \mathbb{R}^2, um campo F=(P,Q) é conservativo se e somente se
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Primeiro observamos que F está definido em todo \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo. Então basta verificar
P(x,y)=e^{x}\sin y \quad\text{e}\quad Q(x,y)=e^{x}\cos y
e calcular os parciais cruzados:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) =e^{x}\cos y,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y\bigr) =e^{x}\cos y.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, o rotor de F é zero e, em \mathbb{R}^2 (domínio simplesmente conexo), F é conservativo.

Passo 3

Para encontrar uma função potencial f(x,y), escrevemos
\frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y)=e^{x}\sin y
e integramos em relação a x:
f(x,y)=\int e^{x}\sin y\,dx =e^{x}\sin y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Agora usamos a condição
\frac{\partial f}{\partial y} =Q(x,y)=e^{x}\cos y.
Do nosso f temos
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y + h(y)\bigr) =e^{x}\cos y + h'(y).
Igualando a Q(x,y) obtemos
e^{x}\cos y + h'(y)=e^{x}\cos y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0 \;\Longrightarrow\; h(y)=C,
com C constante.

Resposta

Uma função potencial é
f(x,y)=e^{x}\sin y + C,
onde C é constante arbitrária.

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