Cheque se os limites abaixo são indeterminações, e calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado nos pede para analisar o limite
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x-1}
verificando se há indeterminação e, em seguida, calcular o valor do limite. O conteúdo aqui envolve limites de funções racionais e o tratamento de indeterminações do tipo \tfrac{0}{0} usando fatoração.

Passo 2

Verificamos a forma substituindo x=1 diretamente no numerador e no denominador:
\text{numerador} = 1^{3}-1 = 0, \quad \text{denominador} = 1-1 = 0.
Como obtemos 0/0, existe uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Para resolver a indeterminação, fatoramos a diferença de cubos no numerador:
x^{3}-1 = (x-1)\,(x^{2}+x+1).
Assim,
\frac{x^{3}-1}{x-1} = \frac{(x-1)\,(x^{2}+x+1)}{x-1} = x^{2}+x+1, \quad x\neq 1.

Passo 4

Agora podemos calcular o limite da função simplificada por substituição direta:
\lim_{x\to1}(x^{2}+x+1) = 1^{2} + 1 + 1 = 3.

Resposta

O limite existe e vale 3.

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