Determine a transformada de Laplace e a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada uma das seguintes funções do tempo:
x(t)=e^{-4 t} u(t)+e^{-5 t}(\operatorname{sen} 5 t) u(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
x(t)=e^{-4t}u(t)+e^{-5t}\bigl(\sin 5t\bigr)u(t),
além da região de convergência (ROC) e do diagrama de polos e zeros. Vamos usar as fórmulas padrão:
  1. Se x_1(t)=e^{at}u(t) então
X_1(s)=\mathcal{L}\{e^{at}u(t)\}=\frac{1}{s - a},\quad \text{ROC: }\Re(s)> \Re(a).
  1. Se x_2(t)=e^{at}\sin(\omega t)\,u(t) então
X_2(s)=\mathcal{L}\{e^{at}\sin(\omega t)\}=\frac{\omega}{(s - a)^2+\omega^2},\quad \text{ROC: }\Re(s)> \Re(a).

Passo 2

Para a primeira parcela x_1(t)=e^{-4t}u(t), aplicando a fórmula com a=-4:
X_1(s)=\frac{1}{s-(-4)}=\frac{1}{s+4},
com região de convergência
\Re(s)>-4.

Passo 3

Para a segunda parcela x_2(t)=e^{-5t}\sin(5t)\,u(t), aplicamos a fórmula com a=-5 e \omega=5:
X_2(s)=\frac{5}{(s-(-5))^2+5^2}=\frac{5}{(s+5)^2+25},
com região de convergência
\Re(s)>-5.

Passo 4

Como x(t)=x_1(t)+x_2(t), a transformada total é a soma:
X(s)=X_1(s)+X_2(s) =\frac{1}{s+4}+\frac{5}{(s+5)^2+25}.
A região de convergência comum é a interseção de \Re(s)>-4 e \Re(s)>-5, ou seja
\Re(s)>-4.

Passo 5

O diagrama de polos e zeros de X(s) vem dos polos de cada termo:
  • X_1(s) tem um polo simples em s=-4.
  • X_2(s) tem polos em s=-5\pm j5.
    Nenhum dos dois termos tem zeros finitos.

Resposta

Transformada de Laplace:
X(s)=\frac{1}{s+4}+\frac{5}{(s+5)^2+25}.
Região de convergência:
\Re(s)>-4.
Diagrama de polos e zeros:
  • Polos em s=-4 e s=-5\pm j5 (marcados com “×”).
  • Sem zeros finitos (apenas zero em s=\infty).

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