Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada.
f(x, y)=3 x^2+2 y^3 Resp.: F(x, y)=6 x i+6 y^2 j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrar um campo vetorial conservativo a partir de uma função potencial dada. Aqui, a função potencial é f(x, y) = 3x^2 + 2y^3 . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como relacioná-lo com sua função potencial usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, é um campo onde a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho escolhido, mas apenas dos pontos em si. E uma propriedade chave desses campos é que eles podem ser expressos como o gradiente de uma função potencial.
O gradiente de uma função f(x, y) é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função, e é dado por:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )

Passo 3

Então, para encontrar o campo vetorial conservativo F(x, y) a partir da função potencial f(x, y) , precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y .
Vamos calcular essas derivadas:
  1. Derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = partialpartial x (3x^2 + 2y^3) = 6x
  1. Derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = partialpartial y (3x^2 + 2y^3) = 6y^2

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o campo vetorial conservativo F(x, y) usando essas componentes:
F(x, y) = partial fpartial x i + partial fpartial y j = 6x i + 6y^2 j

Resposta

Portanto, o campo vetorial conservativo é:
F(x, y) = 6x i + 6y^2 j

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