Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada.
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrar um campo vetorial conservativo a partir de uma função potencial dada. Aqui, a função potencial é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como relacioná-lo com sua função potencial usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, é um campo onde a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho escolhido, mas apenas dos pontos em si. E uma propriedade chave desses campos é que eles podem ser expressos como o gradiente de uma função potencial.
O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função, e é dado por:
Passo 3
Então, para encontrar o campo vetorial conservativo
a partir da função potencial
, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Vamos calcular essas derivadas:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o campo vetorial conservativo
usando essas componentes:
Resposta
Portanto, o campo vetorial conservativo é: