Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada.
f(x, y)=2 x^4-5 x^2 y^2+4 y^4 Resp.: F(x, y)=(8 x^3-10 x y^2) i+(-10 x^2 y+16 y^3) j

Passo 1

O enunciado dá a função potencial
f(x,y)=2x^4-5x^2y^2+4y^4
e pede um campo vetorial conservativo F que tenha f como potencial. Para isso, basta lembrar que, em R^2, um campo conservativo é o gradiente da função potencial, ou seja,
F(x,y)=nabla f(x,y)=l(partial f/partial x,;partial f/partial yr)

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x. Como
f(x,y)=2x^4-5x^2y^2+4y^4,
temos
partial fpartial x =partialpartial x(2x^4)-partialpartial x(5x^2y^2)+partialpartial x(4y^4) =8x^3-10xy^2+0 =8x^3-10x y^2

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de f em relação a y. Como
f(x,y)=2x^4-5x^2y^2+4y^4,
segue
partial fpartial y =partialpartial y(2x^4)-partialpartial y(5x^2y^2)+partialpartial y(4y^4) =0-10x^2y+16y^3 =-10x^2y+16y^3

Passo 4

Juntando, o campo vetorial conservativo associado a f é
F(x,y)=l(partial f/partial xr),i+l(partial f/partial yr),j =(8x^3-10x y^2),i+(-10x^2y+16y^3),j

Resposta

F(x,y)=(8x^3-10x y^2),i+(-10x^2y+16y^3),j

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