. (Valor 15.0 pts cada item) Resolva as equações diferenciais a seguir.
y^prime prime-y^prime-6 y=3 e^-2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y'' - y' - 6y = 3e^-2x . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, y'' - y' - 6y = 0 . Para isso, usamos a equação característica, que nos ajuda a encontrar as soluções da parte homogênea.
A equação característica é:
r^2 - r - 6 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica r^2 - r - 6 = 0 . Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de r :
r = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm raiz252 = 1 pm 52
Isso nos dá duas raízes:
r1 = 3
r2 = -2

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^3x + C2 e^-2x
onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa y'' - y' - 6y = 3e^-2x . Como o lado direito é 3e^-2x , assumimos uma forma para yp . Normalmente, tentamos:
yp = A e^-2x
No entanto, percebemos que e^-2x já é uma solução da equação homogênea (como vimos em yh ). Nesse caso, precisamos multiplicar por x para garantir a linearidade, então tentamos:
yp = A x e^-2x

Passo 6

Vamos derivar yp = A x e^-2x para encontrar yp' e yp'' :
yp' = A e^-2x + A x (-2)e^-2x = A e^-2x - 2A x e^-2x
yp'' = -2A e^-2x - 2A e^-2x + 4A x e^-2x = -4A e^-2x + 4A x e^-2x
Substituindo yp , yp' e yp'' na equação original:
(-4A e^-2x + 4A x e^-2x) - (A e^-2x - 2A x e^-2x) - 6(A x e^-2x) = 3e^-2x
Simplificando:
(-4A e^-2x + 4A x e^-2x) - A e^-2x + 2A x e^-2x - 6A x e^-2x = 3e^-2x
(-5A e^-2x) + 0 = 3e^-2x
Isso nos dá:
-5A = 3
A = -35

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^3x + C2 e^-2x - 35x e^-2x

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