. (Valor 15.0 pts cada item) Resolva as equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja,
. Para isso, usamos a equação característica, que nos ajuda a encontrar as soluções da parte homogênea.
A equação característica é:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de
:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, assumimos uma forma para
. Normalmente, tentamos:
No entanto, percebemos que
já é uma solução da equação homogênea (como vimos em
). Nesse caso, precisamos multiplicar por
para garantir a linearidade, então tentamos:
Passo 6
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Isso nos dá:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: