(Valor 20.0 pts ) Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão
, uma resistência
, uma bobine com indutância
e um condensador com capacitância
, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador
é tal que
Quando há uma voltagem impressa
no circuito, as vibrações elétricas são chamadas de forçadas. No caso em que
, a função complementar
é chamada de solução transiente. Se
for periódica ou constante, então a solução particular
será uma solução estacionária.
Encontre a carga estacionária em um circuito em série RLC quando
hanry,
ohms,
farad e
volts.
Encontre a carga estacionária em um circuito em série RLC quando
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos um circuito elétrico chamado RLC em série, que inclui uma resistência (
ohms), uma bobina com indutância (
henry), e um condensador com capacitância (
farad). Esse circuito está sendo alimentado por uma fonte de tensão que varia no tempo como
volts. Nosso objetivo aqui é encontrar a carga estacionária no condensador, ou seja, a carga que permanece constante após o circuito estabilizar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que descreve o comportamento da carga no condensador:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que relaciona a carga
com o tempo
. Para resolver isso, precisamos encontrar uma solução particular que represente o comportamento estacionário da carga quando o circuito está sujeito a uma tensão periódica
.
Passo 3
Como a tensão
é uma função cossenoidal, vamos supor que a solução particular para a carga também seja uma função cossenoidal, ou seja:
Aqui,
e
são constantes que precisamos determinar. Essa forma assume que a resposta do sistema terá a mesma frequência da tensão aplicada, mas com possíveis diferenças de amplitude e fase.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
necessárias para substituir na equação diferencial original:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
Vamos distribuir os termos:
Passo 6
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Então, temos duas equações:
- Para os termos de
:
- Para os termos de
:
Passo 7
Vamos substituir os valores conhecidos:
henry,
ohms,
farad.
Primeira equação:
Simplificando:
Segunda equação:
Simplificando:
Passo 8
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos expressar a Equação 2 em termos de
:
Passo 9
Substituímos
na Equação 1:
Passo 10
Agora, encontramos
. Usando
:
Passo 11
Finalmente, substituímos
e
na expressão para
:
Podemos também expressar isso na forma de uma única função cosseno com amplitude e fase ajustadas:
Onde:
Portanto:
Resposta
A carga estacionária no condensador é dada por: