(Valor 20.0 pts ) Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão E(t), uma resistência R, uma bobine com indutância L e um condensador com capacitância C, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador q(t) é tal que
L d^2 qd t^2+R d qd t+1C q=E(t)
Quando há uma voltagem impressa E(t) no circuito, as vibrações elétricas são chamadas de forçadas. No caso em que R neq 0, a função complementar qc(t) é chamada de solução transiente. Se E(t) for periódica ou constante, então a solução particular qp(t) será uma solução estacionária.
Encontre a carga estacionária em um circuito em série RLC quando L=0,1 hanry, R=4 ohms, C=140 farad e E(t)=100 cos (60 t) volts.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos um circuito elétrico chamado RLC em série, que inclui uma resistência ( R = 4 ohms), uma bobina com indutância ( L = 0,1 henry), e um condensador com capacitância ( C = 140 farad). Esse circuito está sendo alimentado por uma fonte de tensão que varia no tempo como E(t) = 100 cos(60 t) volts. Nosso objetivo aqui é encontrar a carga estacionária no condensador, ou seja, a carga que permanece constante após o circuito estabilizar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que descreve o comportamento da carga no condensador:
L d^2 qd t^2 + R d qd t + 1C q = E(t)
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que relaciona a carga q(t) com o tempo t. Para resolver isso, precisamos encontrar uma solução particular que represente o comportamento estacionário da carga quando o circuito está sujeito a uma tensão periódica E(t).

Passo 3

Como a tensão E(t) é uma função cossenoidal, vamos supor que a solução particular para a carga também seja uma função cossenoidal, ou seja:
qp(t) = Q cos(60 t) + P sin(60 t)
Aqui, Q e P são constantes que precisamos determinar. Essa forma assume que a resposta do sistema terá a mesma frequência da tensão aplicada, mas com possíveis diferenças de amplitude e fase.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de qp(t) necessárias para substituir na equação diferencial original:
Primeira derivada:
d qpd t = -60 Q sin(60 t) + 60 P cos(60 t)
Segunda derivada:
d^2 qpd t^2 = -3600 Q cos(60 t) - 3600 P sin(60 t)

Passo 5

Substituindo qp(t) e suas derivadas na equação diferencial:
L (-3600 Q cos(60 t) - 3600 P sin(60 t)) + R (-60 Q sin(60 t) + 60 P cos(60 t)) + 1C (Q cos(60 t) + P sin(60 t)) = 100 cos(60 t)
Vamos distribuir os termos:
-3600 L Q cos(60 t) - 3600 L P sin(60 t) - 60 R Q sin(60 t) + 60 R P cos(60 t) + 1C Q cos(60 t) + 1C P sin(60 t) = 100 cos(60 t)

Passo 6

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Coeficiente de cos(60 t):
-3600 L Q + 60 R P + 1C Q
Coeficiente de sin(60 t):
-3600 L P - 60 R Q + 1C P
Então, temos duas equações:
  1. Para os termos de cos(60 t):
-3600 L Q + 60 R P + 1C Q = 100
  1. Para os termos de sin(60 t):
-3600 L P - 60 R Q + 1C P = 0

Passo 7

Vamos substituir os valores conhecidos: L = 0,1 henry, R = 4 ohms, C = 140 farad.
Primeira equação:
-3600 times 0,1 times Q + 60 times 4 times P + 40 times Q = 100
Simplificando:
-360 Q + 240 P + 40 Q = 100 (-360 + 40) Q + 240 P = 100 -320 Q + 240 P = 100 (Equação 1) çã
Segunda equação:
-3600 times 0,1 times P - 60 times 4 times Q + 40 times P = 0
Simplificando:
-360 P - 240 Q + 40 P = 0 (-360 + 40) P - 240 Q = 0 -320 P - 240 Q = 0 (Equação 2) çã

Passo 8

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. -320 Q + 240 P = 100
  2. -320 P - 240 Q = 0
Vamos resolver esse sistema. Podemos expressar a Equação 2 em termos de P:
-320 P = 240 Q P = -240320 Q P = -34 Q

Passo 9

Substituímos P = -34 Q na Equação 1:
-320 Q + 240 (-34 Q) = 100 -320 Q - 180 Q = 100 -500 Q = 100 Q = -100500 Q = -0,2

Passo 10

Agora, encontramos Q = -0,2. Usando P = -34 Q:
P = -34 times (-0,2) P = 0,15

Passo 11

Finalmente, substituímos Q e P na expressão para qp(t):
qp(t) = Q cos(60 t) + P sin(60 t) qp(t) = -0,2 cos(60 t) + 0,15 sin(60 t)
Podemos também expressar isso na forma de uma única função cosseno com amplitude e fase ajustadas:
qp(t) = A cos(60 t + phi)
Onde:
A = raizQ^2 + P^2 = raiz(-0,2)^2 + (0,15)^2 = raiz0,04 + 0,0225 = raiz0,0625 = 0,25 phi = arctan(PQ) = arctan(0,15-0,2) = arctan(-0,75) approx -36,87^circ
Portanto:
qp(t) = 0,25 cos(60 t - 36,87^circ)

Resposta

A carga estacionária no condensador é dada por:
q(t) = 0,25 cos(60 t - 36,87^circ) coulombs

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