. (Valor 15.0 pts cada item) Resolva as equações diferenciais a seguir.
x^2 d^2 yd x^2-6 y=ln x, x>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
x^2 d^2 yd x^2 - 6 y = ln x
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa. Vamos usar métodos de equações diferenciais lineares e aplicar técnicas específicas para lidar com os coeficientes variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
x^2 d^2 yd x^2 - 6 y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, usamos a substituição de Euler, assumindo que a solução tem a forma y = x^m. Vamos substituir essa forma na equação.

Passo 3

Assumindo y = x^m, calculamos as derivadas:
y' = m x^m-1
y'' = m(m-1) x^m-2
Substituindo na equação homogênea:
x^2 cdot m(m-1) x^m-2 - 6 x^m = 0
Simplificando:
m(m-1) x^m - 6 x^m = 0

Passo 4

Fatorando x^m:
x^m [m(m-1) - 6] = 0
Como x^m neq 0, temos:
m(m-1) - 6 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
m^2 - m - 6 = 0
Usando a fórmula quadrática:
m = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52
Então, as soluções para m são:
m1 = 3
m2 = -2

Passo 5

Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 x^3 + C2 x^-2
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa:
x^2 y'' - 6 y = ln x
Para isso, usamos o método da variação dos parâmetros. Como o termo não homogêneo é ln x, vamos supor uma solução particular da forma:
yp = A ln x + B

Passo 7

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = Ax
yp'' = -Ax^2
Substituindo na equação original:
x^2 (-Ax^2) - 6(A ln x + B) = ln x
Simplificando:
-A - 6A ln x - 6B = ln x

Passo 8

Igualando os termos correspondentes:
Para os termos com ln x:
-6A = 1
Então,
A = -16
Para os termos constantes:
-A - 6B = 0
Substituindo A:
16 - 6B = 0
Então,
B = 136

Passo 9

Portanto, a solução particular é:
yp = -16 ln x + 136

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp = C1 x^3 + C2 x^-2 - 16 ln x + 136

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 x^3 + C2 x^-2 - 16 ln x + 136

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