. (Valor 15.0 pts cada item) Resolva as equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa. Vamos usar métodos de equações diferenciais lineares e aplicar técnicas específicas para lidar com os coeficientes variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, usamos a substituição de Euler, assumindo que a solução tem a forma
. Vamos substituir essa forma na equação.
Passo 3
Assumindo
, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Passo 4
Fatorando
:
Como
, temos:
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula quadrática:
Então, as soluções para
são:
Passo 5
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Para isso, usamos o método da variação dos parâmetros. Como o termo não homogêneo é
, vamos supor uma solução particular da forma:
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Igualando os termos correspondentes:
Para os termos com
:
Então,
Para os termos constantes:
Substituindo
:
Então,
Passo 9
Portanto, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: