Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada.
f(x, y)=y e^x-x e^y Resp.: F(x, y)=(y e^x-e^y) i+(e^x-x e^y) j

Passo 1

O enunciado nos dá a função potencial
f(x,y)=y e^x-x e^y
e pede um campo vetorial conservativo F(x,y) cuja função potencial seja f. O conteúdo principal aqui é reconhecer que, para um campo conservativo, vale
F(x,y)=nabla f(x,y)

Passo 2

Lembrando que o gradiente de uma função escalar f em duas variáveis é dado por
F(x,y)=nabla f(x,y) =l(partial fpartial x,,partial fpartial yr),
basta calcular as derivadas parciais de f.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de f:
partial fpartial x =partialpartial xl(y e^xr) -partialpartial xl(x e^yr) =y e^x-e^y,
partial fpartial y =partialpartial yl(y e^xr) -partialpartial yl(x e^yr) =e^x-x e^y

Passo 4

Substituindo as componentes obtidas em nabla f, temos
F(x,y)=l(y e^x-e^y,;e^x-x e^yr),
ou, em notação vetorial com i e j:
F(x,y)=l(y e^x-e^yr)i+l(e^x-x e^yr)j

Resposta

F(x, y)=(y e^x-e^y)i+(e^x-x e^y)j

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