Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada.
f(x, y, z)=z cdot sen(x^2-y) Resp.:
F(x, y, z)=2 x z cdot cos (x^2-y) i-z cdot cos (x^2-y) j+sen(x^2-y) k

Passo 1

O enunciado dá a função potencial
f(x,y,z)=z;senl(x^2-yr)
e pede um campo vetorial conservativo F tal que F=nabla f. Isto é conteúdo de cálculo vetorial: vamos usar a definição de gradiente, que consiste em calcular as derivadas parciais de f em relação a x, y e z.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x. Como z é tratado como constante e aplicamos a regra da cadeia em sen(x^2-y), temos
partial fpartial x =;z;ddxl[sen(x^2-y)r] =;z;cosl(x^2-yr)cdot 2x =;2xz;cosl(x^2-yr)

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f em relação a y. Aqui z é constante e a derivada de sen(x^2-y) em relação a y é -cos(x^2-y):
partial fpartial y =;z;ddyl[sen(x^2-y)r] =;z;(-1);cosl(x^2-yr) =;-,z;cosl(x^2-yr)

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de f em relação a z. Agora x e y são constantes, então
partial fpartial z =;senl(x^2-yr)

Passo 5

Juntando as componentes do gradiente, obtemos o campo vetorial conservativo
F(x,y,z) =nabla f =partial fpartial x,i +partial fpartial y,j +partial fpartial z,k

Resposta

F(x,y,z) =2xz;cosl(x^2-yr),i ;-;z;cosl(x^2-yr),j ;+;senl(x^2-yr),k

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