Calacular as integrais:
7. integral d uu^2+a^2,(a neq 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral duu^2+a^2, onde a neq 0. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar expressões que têm a forma u^2 + a^2 no denominador.

Passo 2

Primeiro, lembra que a integral da função 11 + x^2 em relação a x é a função arco-tangente, ou seja, arctan(x). Isso porque a derivada de arctan(x) é exatamente 11 + x^2.

Passo 3

Agora, vamos adaptar nossa integral para se parecer com o que sabemos sobre a arctan. Observa que temos u^2 + a^2 no denominador. Para isso, vamos fazer uma substituição que simplifique essa expressão. Vamos definir:
x = ua
Assim, temos:
u = a x e du = a,dx

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, ficamos com:
integral duu^2+a^2 = integral a,dxa^2x^2 + a^2
Podemos fatorar a^2 no denominador:
= integral a,dxa^2(x^2 + 1) = integral 1a cdot dxx^2 + 1
Agora, a integral fica:
1a integral dxx^2 + 1
E sabemos que:
integral dxx^2 + 1 = arctan(x) + C
Então:
1a arctan(x) + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original substituindo x = ua:
1a arctan(ua) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de 1u^2+a^2 em relação a u é 1a arctan(ua) + C.

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