Calcular:
3. integral t^4 e^4 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral t^4 e^4 t , dt. Esse problema está na área do Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica várias vezes até simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, escolhemos partes da integral para serem u e dv. No nosso caso, vamos definir:
u = t^4 e dv = e^4t , dt
Agora, calculamos du e v:
du = 4t^3 , dt
v = integral e^4t , dt = 14 e^4t
Aplicando a fórmula:
integral t^4 e^4 t , dt = t^4 cdot 14 e^4t - integral 14 e^4t cdot 4t^3 , dt
Simplificando:
= 14 t^4 e^4t - integral t^3 e^4t , dt

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral integral t^3 e^4t , dt. Vamos aplicar novamente a integração por partes:
u = t^3 e dv = e^4t , dt
Calculando du e v:
du = 3t^2 , dt
v = 14 e^4t
Aplicando a fórmula:
integral t^3 e^4t , dt = t^3 cdot 14 e^4t - integral 14 e^4t cdot 3t^2 , dt
Simplificando:
= 14 t^3 e^4t - 34 integral t^2 e^4t , dt

Passo 4

Continuamos com a integral integral t^2 e^4t , dt. Mais uma vez, aplicamos integração por partes:
u = t^2 e dv = e^4t , dt
Calculando du e v:
du = 2t , dt
v = 14 e^4t
Aplicando a fórmula:
integral t^2 e^4t , dt = t^2 cdot 14 e^4t - integral 14 e^4t cdot 2t , dt
Simplificando:
= 14 t^2 e^4t - 12 integral t e^4t , dt

Passo 5

Agora, tratamos a integral integral t e^4t , dt. Aplicamos integração por partes pela última vez:
u = t e dv = e^4t , dt
Calculando du e v:
du = dt
v = 14 e^4t
Aplicando a fórmula:
integral t e^4t , dt = t cdot 14 e^4t - integral 14 e^4t cdot 1 , dt
Simplificando:
= 14 t e^4t - 14 cdot 14 e^4t + C
= 14 t e^4t - 116 e^4t + C

Passo 6

Agora, voltamos às etapas anteriores substituindo as integrais resolvidas:
integral t^2 e^4t , dt = 14 t^2 e^4t - 12 ( 14 t e^4t - 116 e^4t ) + C
Simplificando:
= 14 t^2 e^4t - 18 t e^4t + 132 e^4t + C

Passo 7

Substituímos de volta na etapa anterior:
integral t^3 e^4t , dt = 14 t^3 e^4t - 34 ( 14 t^2 e^4t - 18 t e^4t + 132 e^4t ) + C
Simplificando:
= 14 t^3 e^4t - 316 t^2 e^4t + 332 t e^4t - 3128 e^4t + C

Passo 8

Finalmente, substituímos tudo na equação original:
integral t^4 e^4t , dt = 14 t^4 e^4t - ( 14 t^3 e^4t - 316 t^2 e^4t + 332 t e^4t - 3128 e^4t ) + C
Simplificando os sinais:
= 14 t^4 e^4t - 14 t^3 e^4t + 316 t^2 e^4t - 332 t e^4t + 3128 e^4t + C

Resposta

A integral integral t^4 e^4 t , dt é dada por:
14 t^4 e^4t - 14 t^3 e^4t + 316 t^2 e^4t - 332 t e^4t + 3128 e^4t + C
onde C é a constante de integração.

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