(1,0) Ache o centralizador da transposição (12) em \mathrm{S}_{4}.

Passo 1

O enunciado pede o centralizador de (1\,2) em S_{4}. Ou seja, queremos
C_{S_{4}}((1\,2))=\{\,h\in S_{4}\mid h\,(1\,2)=(1\,2)\,h\}.
Para resolver, usamos que h comuta com (1\,2) se, e somente se, sob conjugação (1\,2) se mantém igual:
h\,(1\,2)\,h^{-1}=(1\,2).

Passo 2

A condição h\,(1\,2)\,h^{-1}=(1\,2) implica que h envia o suporte da transposição, \{1,2\}, em si mesmo. Em outras palavras,
h(\{1,2\})=\{1,2\}.
Como (1\,2) fixa os pontos 3 e 4, qualquer permutação de \{3,4\} também comuta com (1\,2). Logo, h deve agir em \{1,2\} como elemento de S_{\{1,2\}}\cong C_{2} e em \{3,4\} como elemento de S_{\{3,4\}}\cong C_{2}.

Passo 3

Portanto, o centralizador é o subgrupo gerado por (1\,2) e por (3\,4). Enumerando seus elementos, obtemos
C_{S_{4}}((1\,2)) =\{\,e,\,(1\,2),\,(3\,4),\,(1\,2)(3\,4)\},
que é isomorfo a C_{2}\times C_{2}.

Resposta

\{\,e,\,(1\,2),\,(3\,4),\,(1\,2)(3\,4)\}

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