Dê exemplos de:
(b) Grupo no qual todo subgrupo próprio é cíclico. Mas o grupo não é cíclico.
(b) Grupo no qual todo subgrupo próprio é cíclico. Mas o grupo não é cíclico.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de grupo
tal que todos os seus subgrupos próprios sejam cíclicos, mas
não seja cíclico. O conteúdo é teoria de grupos finitos (ou p-grupos) e pedimos exemplos concretos de estruturas conhecidas.
Passo 2
Considere o grupo
onde
é um primo.
– O grupo tem ordem .
– Cada elemento satisfaz
, logo
divide
. Assim não existe elemento de ordem
e
não é cíclico.
– Um subgrupo próprio de tem ordem divisora de
, logo ordem
ou
. Todo grupo de ordem
é cíclico. Portanto todos os subgrupos próprios de
são cíclicos.
– O grupo tem ordem
– Cada elemento
– Um subgrupo próprio de
Passo 3
Outro exemplo é o grupo quaternionico
com as relações
– Tem ordem
.
– Não há elemento de ordem (os elementos de maior ordem são
, todos de ordem
), logo
não é cíclico.
– Seus subgrupos próprios são e
,
todos cíclicos.
– Não há elemento de ordem
– Seus subgrupos próprios são
todos cíclicos.
Resposta
Como exemplos de grupos não cíclicos cujos subgrupos próprios são todos cíclicos, podemos citar:
(para
primo)
e
o grupo quaterniónico .
e
o grupo quaterniónico