Dê exemplos de:
(b) Grupo no qual todo subgrupo próprio é cíclico. Mas o grupo não é cíclico.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de grupo G tal que todos os seus subgrupos próprios sejam cíclicos, mas G não seja cíclico. O conteúdo é teoria de grupos finitos (ou p-grupos) e pedimos exemplos concretos de estruturas conhecidas.

Passo 2

Considere o grupo
G = \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p,
onde p é um primo.
– O grupo tem ordem p^2.
– Cada elemento (a,b) satisfaz p\,(a,b)=(pa,pb)=(0,0), logo \mathrm{ord}(a,b) divide p. Assim não existe elemento de ordem p^2 e G não é cíclico.
– Um subgrupo próprio de G tem ordem divisora de p^2, logo ordem 1 ou p. Todo grupo de ordem p é cíclico. Portanto todos os subgrupos próprios de G são cíclicos.

Passo 3

Outro exemplo é o grupo quaternionico
Q_8 = \{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}
com as relações
i^2=j^2=k^2=ijk=-1.
– Tem ordem 8.
– Não há elemento de ordem 8 (os elementos de maior ordem são i,j,k, todos de ordem 4), logo Q_8 não é cíclico.
– Seus subgrupos próprios são \langle -1\rangle\cong\mathbb{Z}_2 e \langle i\rangle,\langle j\rangle,\langle k\rangle\cong\mathbb{Z}_4,
todos cíclicos.

Resposta

Como exemplos de grupos não cíclicos cujos subgrupos próprios são todos cíclicos, podemos citar: \mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p (para p primo)
e
o grupo quaterniónico Q_8.

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