Dê exemplos de:
(c) Grupo no qual todo subgrupo próprio é normal. Mas o grupo nâo é abeliano.
(c) Grupo no qual todo subgrupo próprio é normal. Mas o grupo nâo é abeliano.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de grupo
tal que todo subgrupo próprio de
seja normal, mas
não seja abeliano. Vamos usar teoria de grupos finitos, subgrupos próprios e normalidade.
Passo 2
Um grupo (finito) não abeliano em que todo subgrupo é normal recebe o nome de grupo hamiltoniano. O menor e mais clássico desses exemplos é o grupo quaterniónico
.
Passo 3
Definimos
com as relações
Esse grupo é não abeliano porque, por exemplo,
Passo 4
Os subgrupos próprios de
são exatamente
Cada um deles é de índice
ou contido no centro de
, logo é normal em
.
Resposta
Um exemplo de grupo não abeliano em que todo subgrupo próprio é normal é o grupo quaterniónico
.