Dê exemplos de:
(c) Grupo no qual todo subgrupo próprio é normal. Mas o grupo nâo é abeliano.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de grupo G tal que todo subgrupo próprio de G seja normal, mas G não seja abeliano. Vamos usar teoria de grupos finitos, subgrupos próprios e normalidade.

Passo 2

Um grupo (finito) não abeliano em que todo subgrupo é normal recebe o nome de grupo hamiltoniano. O menor e mais clássico desses exemplos é o grupo quaterniónico Q_8.

Passo 3

Definimos
Q_8 = \{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}
com as relações
i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1.
Esse grupo é não abeliano porque, por exemplo,
ij = k \quad\text{mas}\quad ji = -k \neq k.

Passo 4

Os subgrupos próprios de Q_8 são exatamente
\{1\},\quad \{\pm1\},\quad \langle i\rangle=\{\pm1,\pm i\},\quad \langle j\rangle,\quad \langle k\rangle.
Cada um deles é de índice 2 ou contido no centro de Q_8, logo é normal em Q_8.

Resposta

Um exemplo de grupo não abeliano em que todo subgrupo próprio é normal é o grupo quaterniónico Q_8.

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