É possível encontrar
em
tal que
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe
tal que
O conteúdo envolvido é a teoria de conjugação em grupos simétricos, em que usamos o fato de que a conjugação preserva o tipo cíclico (e em particular a ordem) dos elementos.
Passo 2
Ao conjugar um elemento em
, sua decomposição em ciclos e, portanto, sua ordem permanecem as mesmas. O ciclo
é um 3-ciclo de ordem 3, enquanto
é um 2-ciclo (transposição) de ordem 2. Como a conjugação não pode mudar a ordem de um elemento, não há
que transforme um 3-ciclo numa transposição.
Resposta
Não existe tal
em
, pois
e
têm ordens diferentes e, por conjugação, a ordem é preservada.