(1,0) É possível encontrar \alpha em S_{n} tal que \alpha^{-1}(123) \alpha=(12) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe \alpha\in S_{n} tal que
\alpha^{-1}(1\,2\,3)\,\alpha = (1\,2).
O conteúdo envolvido é a teoria de conjugação em grupos simétricos, em que usamos o fato de que a conjugação preserva o tipo cíclico (e em particular a ordem) dos elementos.

Passo 2

Ao conjugar um elemento em S_{n}, sua decomposição em ciclos e, portanto, sua ordem permanecem as mesmas. O ciclo (1\,2\,3) é um 3-ciclo de ordem 3, enquanto (1\,2) é um 2-ciclo (transposição) de ordem 2. Como a conjugação não pode mudar a ordem de um elemento, não há \alpha que transforme um 3-ciclo numa transposição.

Resposta

Não existe tal \alpha em S_{n}, pois (1\,2\,3) e (1\,2) têm ordens diferentes e, por conjugação, a ordem é preservada.

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