(1,0) Seja G=\left\{g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}\right\} um grupo abeliano. Calcule: \left(g_{1} \cdot g_{2} \cdots g_{n}\right)^{2}.

Passo 1

O enunciado diz que G=\{g_{1},g_{2},\dots,g_{n}\} é um grupo abeliano e pede para calcular \bigl(g_{1}g_{2}\cdots g_{n}\bigr)^{2}. O que vamos usar é a propriedade de grupos abelianos: em G vale xy=yx para quaisquer x,y\in G, o que permite trocar a ordem dos fatores.

Passo 2

Primeiro veja o caso de dois elementos:
(g_{1}g_{2})^{2} = (g_{1}g_{2})(g_{1}g_{2}).
Como G é abeliano, g_{2}g_{1}=g_{1}g_{2}, então
(g_{1}g_{2})^{2} = g_{1}g_{2}g_{1}g_{2} = g_{1}g_{1}g_{2}g_{2} = g_{1}^{2}g_{2}^{2}.

Passo 3

Para o produto de n elementos, escrevemos
\bigl(g_{1}g_{2}\cdots g_{n}\bigr)^{2} = (g_{1}g_{2}\cdots g_{n})\,(g_{1}g_{2}\cdots g_{n}),
que é o produto de 2n fatores. Pela comutatividade podemos agrupar cada par igual e obter
\bigl(g_{1}g_{2}\cdots g_{n}\bigr)^{2} = g_{1}g_{1}\;g_{2}g_{2}\;\cdots\;g_{n}g_{n} = g_{1}^{2}g_{2}^{2}\cdots g_{n}^{2}.

Resposta

\bigl(g_{1}g_{2}\cdots g_{n}\bigr)^{2} = g_{1}^{2}\,g_{2}^{2}\,\cdots\,g_{n}^{2}.

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