Ache o centro de massa de:
A área delimitada pela parábola y=ax^2 e a reta y=b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o centro de massa da área delimitada pela parábola $ y = a x^{2} $ e a reta $ y = b $. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral e Geometria Analítica. Vamos precisar integrar as funções para encontrar a área total e as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a parábola $ y = a x^{2} $ e a reta $ y = b $ se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
y = a x^2
Resolvendo para $ x $:
y = b
Então, os pontos de interseção são $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ e $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área $ A $ da região delimitada. A área entre duas curvas pode ser encontrada pela integral da diferença das funções nos limites de integração. Aqui, a reta está acima da parábola, então:
A

Passo 4

Vamos resolver essa integral:
A = integral-raizba^raizba b , dx - integral-raizba^raizba a x^2 , dx
Calculando cada parte:
integral-c^c b , dx = b cdot (2c) = 2b raizba
integral-c^c a x^2 , dx = a cdot 2c^33 = 2a (raizba)^33 = 2b^3/23 a^1/2
Substituindo $ c = \sqrt{\frac{b}{a}} $:
c = raizba

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa $ (\overline{x}, \overline{y}) $.
Por simetria, já sabemos que $ \overline{x} = 0 $, pois a região é simétrica em relação ao eixo y.
Vamos então calcular $ \overline{y} $ usando a fórmula:
(x, y)
Simplificando a expressão dentro da integral:
x = 0
Então:
y
Substituindo $ c = \sqrt{\frac{b}{a}} $:
y = 1A integral-c^c b + a x^22 cdot (b - a x^2) , dx
Simplificando:
b + a x^22 cdot (b - a x^2) = b^2 - a^2 x^42

Resposta

O centro de massa da área delimitada pela parábola $ y = a x^{2} $ e pela reta $ y = b $ é $ \left(0, \frac{3b}{5}\right) $.

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