Ache o centro de massa de:
A área delimitada pela parábola
e a reta
.
A área delimitada pela parábola
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o centro de massa da área delimitada pela parábola $ y = a x^{2} $ e a reta $ y = b $. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral e Geometria Analítica. Vamos precisar integrar as funções para encontrar a área total e as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a parábola $ y = a x^{2} $ e a reta $ y = b $ se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para $ x $:
Então, os pontos de interseção são $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ e $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área $ A $ da região delimitada. A área entre duas curvas pode ser encontrada pela integral da diferença das funções nos limites de integração. Aqui, a reta está acima da parábola, então:
Passo 4
Vamos resolver essa integral:
Calculando cada parte:
Substituindo $ c = \sqrt{\frac{b}{a}} $:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa $ (\overline{x}, \overline{y}) $.
Por simetria, já sabemos que $ \overline{x} = 0 $, pois a região é simétrica em relação ao eixo y.
Vamos então calcular $ \overline{y} $ usando a fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então:
Substituindo $ c = \sqrt{\frac{b}{a}} $:
Simplificando:
Resposta
O centro de massa da área delimitada pela parábola $ y = a x^{2} $ e pela reta $ y = b $ é $ \left(0, \frac{3b}{5}\right) $.