Um arame de forma semi-circular pende apoiado em um prego. A linha que une seus extremos faz um ângulo
com a horizontal e o arame está a ponto de escorregar. Qual é o coeficiente de atrito entre o arame e o prego?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de estática, que faz parte da física, mais especificamente sobre forças e equilíbrio. O cenário é o seguinte: temos um arame em forma de semicírculo pendurado em um prego. A linha que une as pontas do arame forma um ângulo
com a horizontal, e o arame está prestes a escorregar. Nosso objetivo é descobrir qual é o coeficiente de atrito entre o arame e o prego para que isso aconteça.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre forças (como tensão, peso e atrito) e como elas se equilibram quando algo está estático ou prestes a se mover. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as forças envolvidas. O arame está pendurado e em equilíbrio, então as forças que atuam sobre ele devem se equilibrar. As principais forças são:
- Peso do arame (
): É a força puxada pela gravidade, agindo para baixo no centro de massa do arame. - Força de tensão no ponto de apoio (
): É a força que o prego exerce no arame para segurá-lo, e tem componentes horizontal e vertical. - Força de atrito (
): É a força que impede o arame de escorregar, atuando na direção contrária ao movimento iminente.
Passo 3
Vamos considerar que o arame está em equilíbrio, o que significa que a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser zero. Vamos decompor a força de tensão
em suas componentes horizontal (
) e vertical (
):
- Componente horizontal da tensão:
- Componente vertical da tensão:
Como o arame está em equilíbrio, a soma das forças verticais deve igualar o peso do arame:
E a soma das forças horizontais deve igualar a força de atrito:
Passo 4
Sabemos que a força de atrito máxima é dada pela fórmula:
Onde:
-
é o coeficiente de atrito que queremos encontrar. -
é a força normal, que, neste caso, é igual à componente vertical da tensão ( ), já que não há outras forças verticais além do peso.
Então, podemos escrever:
Mas lembrando que
, então:
Passo 5
Voltando à equação das forças horizontais:
Substituindo as expressões das forças:
Sabemos também que
(da soma das forças verticais). Podemos resolver essa equação para
:
Passo 6
Substituímos o valor de
na equação das forças horizontais:
Simplificando:
E sabemos que
é igual a
, então:
Resposta
O coeficiente de atrito entre o arame e o prego é igual ao cosseno de
dividido pelo seno de
, ou seja: