Um arame de forma semi-circular pende apoiado em um prego. A linha que une seus extremos faz um ângulo theta com a horizontal e o arame está a ponto de escorregar. Qual é o coeficiente de atrito entre o arame e o prego?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de estática, que faz parte da física, mais especificamente sobre forças e equilíbrio. O cenário é o seguinte: temos um arame em forma de semicírculo pendurado em um prego. A linha que une as pontas do arame forma um ângulo theta com a horizontal, e o arame está prestes a escorregar. Nosso objetivo é descobrir qual é o coeficiente de atrito entre o arame e o prego para que isso aconteça.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre forças (como tensão, peso e atrito) e como elas se equilibram quando algo está estático ou prestes a se mover. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as forças envolvidas. O arame está pendurado e em equilíbrio, então as forças que atuam sobre ele devem se equilibrar. As principais forças são:
  1. Peso do arame ( P): É a força puxada pela gravidade, agindo para baixo no centro de massa do arame.
  2. Força de tensão no ponto de apoio ( T): É a força que o prego exerce no arame para segurá-lo, e tem componentes horizontal e vertical.
  3. Força de atrito ( Fatrito): É a força que impede o arame de escorregar, atuando na direção contrária ao movimento iminente.

Passo 3

Vamos considerar que o arame está em equilíbrio, o que significa que a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser zero. Vamos decompor a força de tensão T em suas componentes horizontal ( Tx) e vertical ( Ty):
  • Componente horizontal da tensão: Tx = T cos(theta)
  • Componente vertical da tensão: Ty = T sin(theta)
Como o arame está em equilíbrio, a soma das forças verticais deve igualar o peso do arame:
Ty = P
E a soma das forças horizontais deve igualar a força de atrito:
Tx = Fatrito

Passo 4

Sabemos que a força de atrito máxima é dada pela fórmula:
Fatrito = mu cdot N
Onde:
  • mu é o coeficiente de atrito que queremos encontrar.
  • N é a força normal, que, neste caso, é igual à componente vertical da tensão ( Ty), já que não há outras forças verticais além do peso.
Então, podemos escrever:
Fatrito = mu cdot Ty
Mas lembrando que Ty = P, então:
Fatrito = mu cdot P

Passo 5

Voltando à equação das forças horizontais:
Tx = Fatrito
Substituindo as expressões das forças:
T cos(theta) = mu cdot P
Sabemos também que T sin(theta) = P (da soma das forças verticais). Podemos resolver essa equação para T:
T = Psin(theta)

Passo 6

Substituímos o valor de T na equação das forças horizontais:
Psin(theta) cos(theta) = mu cdot P
Simplificando:
cos(theta)sin(theta) = mu
E sabemos que cos(theta)sin(theta) é igual a cot(theta), então:
mu = cot(theta)

Resposta

O coeficiente de atrito entre o arame e o prego é igual ao cosseno de theta dividido pelo seno de theta, ou seja:
mu = cot(theta)

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