Uma esfera sólida uniforme de raio a contém uma cavidade esférica de raio b centrada a uma distância c do centro da esfera, em que a>(b+c). Ache o seu centro de massa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera sólida uniforme de raio $ a $ que tem uma cavidade esférica de raio $ b $ dentro dela, centrada a uma distância $ c $ do centro da esfera principal, onde $ a > (b + c) $. Nosso objetivo aqui é encontrar o centro de massa dessa configuração. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o centro de massa de sistemas compostos e usar conceitos de geometria de esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa de um objeto composto pode ser encontrado considerando o centro de massa de cada parte que compõe o objeto e a distribuição das massas dessas partes. No nosso caso, podemos pensar na esfera completa sem a cavidade e depois “subtrair” a massa da cavidade.

Passo 3

Vamos calcular as massas envolvidas. Como a esfera é uniforme, a massa é proporcional ao volume. O volume de uma esfera é dado por:
V = 43 pi r^3
Portanto, a massa da esfera completa ($ M_{esfera} $) é proporcional a $ a^3 $ e a massa da cavidade ($ M_{cavidade} $) é proporcional a $ b^3 $.

Passo 4

Agora, para encontrar o centro de massa do sistema, consideramos que a massa da cavidade está “faltando” na posição onde ela está localizada. Assim, o centro de massa do sistema será deslocado na direção oposta à da cavidade.

Passo 5

A fórmula para o centro de massa $ R_{cm} $ é dada por:
Rcm
Aqui, escolhemos o centro da esfera principal como a origem ($ 0 $).

Passo 6

Substituindo $ M_{esfera} $ e $ M_{cavidade} $ em termos de $ a^3 $ e $ b^3 $, temos:
Mesfera

Passo 7

Simplificando a expressão acima, obtemos:
Rcm = b^3 ca^3 - b^3
Esse resultado nos dá a posição do centro de massa em relação ao centro original da esfera principal.

Resposta

O centro de massa está deslocado a uma distância de $ \displaystyle \frac{b^3 c}{a^3 - b^3} $ unidades na direção oposta à da cavidade em relação ao centro da esfera original.

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