Um projétil é lançado do solo, sua velocidade inicial faz
com a horizontal e tem módulo igual a
. A coordenada
do projétil aumenta com o tempo, até ele cair no solo plano.
Calcule o alcance do projétil.
Calcule o alcance do projétil.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos um projétil lançado do chão com uma velocidade inicial de 40 metros por segundo, formando um ângulo de 60 graus com a horizontal. Queremos descobrir até onde esse projétil vai, ou seja, o alcance. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de Movimento de Projetil, que envolvem decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical e aplicar as equações do movimento para encontrar o tempo de voo e, finalmente, o alcance.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas direções horizontal (x) e vertical (y). Isso é importante porque o movimento horizontal e vertical são independentes.
A componente horizontal da velocidade é dada por:
Onde:
- $ v_{x} $ é a velocidade na horizontal,
- $ v_{0} = 40 , m/s $ é a velocidade inicial,
- $ \theta = 60^{\circ} $ é o ângulo de lançamento.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ v_{x} $:
Então, a velocidade horizontal é 20 m/s.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a componente vertical da velocidade inicial $ v_{y} $:
Sabemos que $ \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660 $.
Então:
Passo 5
Agora, vamos determinar o tempo total de voo do projétil. Como o terreno é plano e o projétil parte e retorna ao mesmo nível, o tempo de subida será igual ao tempo de descida. O tempo total de voo $ t $ é dado por:
Onde $ g = 9.8 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade.
Passo 6
Calculando o tempo de voo:
Então, o projétil fica no ar por aproximadamente 7.07 segundos.
Passo 7
Por fim, vamos calcular o alcance $ R $ do projétil, que é a distância percorrida na direção horizontal durante o tempo de voo.
Resposta
O alcance do projétil é aproximadamente 141,4 metros.