Um projétil é lançado do solo, sua velocidade inicial faz 60^circ com a horizontal e tem módulo igual a 40 m / s. A coordenada x do projétil aumenta com o tempo, até ele cair no solo plano.
Calcule o alcance do projétil.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos um projétil lançado do chão com uma velocidade inicial de 40 metros por segundo, formando um ângulo de 60 graus com a horizontal. Queremos descobrir até onde esse projétil vai, ou seja, o alcance. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de Movimento de Projetil, que envolvem decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical e aplicar as equações do movimento para encontrar o tempo de voo e, finalmente, o alcance.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas direções horizontal (x) e vertical (y). Isso é importante porque o movimento horizontal e vertical são independentes.
A componente horizontal da velocidade é dada por:
vx = v0 cdot cos(theta)
Onde:
  • $ v_{x} $ é a velocidade na horizontal,
  • $ v_{0} = 40 , m/s $ é a velocidade inicial,
  • $ \theta = 60^{\circ} $ é o ângulo de lançamento.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ v_{x} $:
vx
Então, a velocidade horizontal é 20 m/s.

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a componente vertical da velocidade inicial $ v_{y} $:
vy
Sabemos que $ \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660 $.
Então:
vy = v0 cdot sin(theta) = 40 cdot sin(60^circ)

Passo 5

Agora, vamos determinar o tempo total de voo do projétil. Como o terreno é plano e o projétil parte e retorna ao mesmo nível, o tempo de subida será igual ao tempo de descida. O tempo total de voo $ t $ é dado por:
t
Onde $ g = 9.8 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade.

Passo 6

Calculando o tempo de voo:
t = 2 cdot 34.649.8 approx 69.289.8 approx 7.07 , s
Então, o projétil fica no ar por aproximadamente 7.07 segundos.

Passo 7

Por fim, vamos calcular o alcance $ R $ do projétil, que é a distância percorrida na direção horizontal durante o tempo de voo.
R

Resposta

O alcance do projétil é aproximadamente 141,4 metros.

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