Um projétil é lançado do solo, sua velocidade inicial faz 60^circ com a horizontal e tem módulo igual a 40 m / s. A coordenada x do projétil aumenta com o tempo, até ele cair no solo plano.
Calcule o tempo até ele cair no chão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um projétil lançado do chão com uma velocidade inicial de 40 m/s formando um ângulo de 60^circ com a horizontal. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo o projétil leva para cair de volta no chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetado, que envolve decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical e aplicar as equações do movimento uniformemente variado.

Passo 2

Primeiro, precisamos separar a velocidade inicial nas direções horizontal ( v0x) e vertical ( v0y). Isso é feito usando funções trigonométricas, já que o projétil é lançado em um ângulo.
Usando as fórmulas:
v0x = v0 costheta
v0y = v0 sintheta
onde:
  • v0 = 40 m/s (velocidade inicial)
  • theta = 60^circ (ângulo de lançamento)

Passo 3

Calculando v0x:
v0x = 40 cos60^circ = 40 times 0.5 = 20 m/s
Calculando v0y:
v0y = 40 sin60^circ = 40 times raiz32 = 20raiz3 m/s approx 34.64 m/s

Passo 4

Agora, vamos focar no movimento vertical. A ideia é encontrar o tempo que o projétil leva para subir e depois descer de volta ao solo. Para isso, usamos a equação da posição vertical:
y(t) = v0y t - 12 g t^2
onde:
  • y(t) é a posição vertical no tempo t
  • g = 9.81 m/s^2 (aceleração da gravidade)
Como queremos saber quando o projétil volta ao chão, definimos y(t) = 0:
0 = v0y t - 12 g t^2

Passo 5

Resolvendo a equação para t:
0 = t ( v0y - 12 g t )
Isso nos dá duas soluções:
  1. t = 0 (no momento do lançamento)
  2. v0y - 12 g t = 0 t = 2 v0yg
Desconsideramos a solução t = 0 porque estamos interessados no instante em que o projétil cai de volta.

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
t = 2 times 20raiz39.81 = 40raiz39.81 approx 69.289.81 approx 7.06 s

Resposta

O tempo até o projétil cair no chão é aproximadamente 7.06 segundos.

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