Ache o centro de massa de E, em que:
A densidade de um ponto P de um sólido cúbico E de aresta a é diretamente proporcional ao quadrado da distância de P a um vértice fixo do cubo.

Passo 1

O enunciado diz que temos um cubo de aresta a e que a densidade num ponto P=(x,y,z) é diretamente proporcional ao quadrado da distância de P a um vértice fixo.
Escolhemos esse vértice como a origem (0,0,0). Então
rho(x,y,z)=kl(distância^2r) = k,(x^2+y^2+z^2), â
onde k é a constante de proporcionalidade. Queremos o centro de massa
l(bar x,bar y,bar zr) com
bar x=1Mintegral triplaE x,rho(x,y,z),dV,
e análogas para bar y e bar z. Pelo formato simétrico de rho e do cubo, logo bar x=bar y=bar z.

Passo 2

Calcular a massa total
M=integral triplaE rho(x,y,z),dV = k integral0^a!!integral0^a!!integral0^a (x^2+y^2+z^2),dz,dy,dx
Separamos em três integrais:
integral0^a!!integral0^a!!integral0^a x^2,dz,dy,dx = integral0^a x^2l(underbraceintegral0^a dyaunderbraceintegral0^a dzar)dx = a^2integral0^a x^2,dx = a^2cdota^33 = a^53
Pela mesma razão, as partes em y^2 e z^2 dão cada uma tfraca^53. Somando,
M = kl(tfraca^53+tfraca^53+tfraca^53r) = k,a^5

Passo 3

Calcular o momento em x:
integral triplaE x,rho(x,y,z),dV = kintegral0^a!!integral0^a!!integral0^a x,(x^2+y^2+z^2),dz,dy,dx
Isso se divide em três integrais:
  1. kintegral x^3,dV = kintegral0^a x^3l(a^2r)dx = k,a^2cdota^44 = k,a^64
  2. kintegral x,y^2,dV = kl(integral0^a x,dxr)l(integral0^a y^2,dyr)l(integral0^a dzr) = kcdota^22cdota^33cdot a = k,a^66
  3. Pelo mesmo cálculo, kintegral x,z^2,dV=k,a^66
    Somando essas três parcelas:
integral triplaE x,rho,dV = k,a^6l(tfrac14+tfrac16+tfrac16r) = k,a^6cdot712

Passo 4

Finalmente,
bar x =1Mintegral triplaE x,rho,dV =k,a^6,tfrac712k,a^5 =7a12
E, pela simetria,
bar y=bar z=tfrac7a12

Resposta

O centro de massa é
l(tfrac7a12,,tfrac7a12,,tfrac7a12r)

Exercícios relacionados