Ache o centro de massa de , em que:
A densidade de um ponto de um sólido cúbico de aresta é diretamente proporcional ao quadrado da distância de a um vértice fixo do cubo.
Passo 1
O enunciado diz que temos um cubo de aresta e que a densidade num ponto é diretamente proporcional ao quadrado da distância de a um vértice fixo.
Escolhemos esse vértice como a origem . Então
onde é a constante de proporcionalidade. Queremos o centro de massa com
e análogas para e . Pelo formato simétrico de e do cubo, logo .
Passo 2
Calcular a massa total
Separamos em três integrais:
Pela mesma razão, as partes em y^2 e z^2 dão cada uma tfraca^53. Somando,
M = kl(tfraca^53+tfraca^53+tfraca^53r) = k,a^5
Passo 3
Calcular o momento em x:
integral triplaE x,rho(x,y,z),dV = kintegral0^a!!integral0^a!!integral0^a x,(x^2+y^2+z^2),dz,dy,dx