(1.3) Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de um paralelepípedo-retângulo e com
de volume. O material a ser utilizado nas laterais custa o triplo do que será utilizado no fundo. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos uma caixa sem tampa em forma de paralelepípedo retângulo com volume
. O custo por área do fundo é
e o das laterais é
. O objetivo é encontrar as dimensões que minimizam o custo do material, usando otimização com restrição de volume.
Passo 2
Definimos as dimensões da caixa como
e
(lado do fundo) e
(altura).
O volume é
O volume é
A área do fundo é
e a área total das quatro laterais é
.
Como o custo do fundo é por unidade de área e o das laterais é
, o custo total é
Como o custo do fundo é
Minimizar
equivale a minimizar
sujeito à restrição
.
Passo 3
Usamos multiplicadores de Lagrange, definindo
As condições de ótimo interno são
Passo 4
Comparando
e
, temos
Dividindo a primeira pela segunda dá
Passo 5
Com
, das duas primeiras igualdades basta usar uma delas, por exemplo
E da terceira condição (
) vem
Substituindo em
dá
Passo 6
Finalmente, da restrição de volume
com
e
resulta
e portanto
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são