(1.3) Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de um paralelepípedo-retângulo e com 1 m^3 de volume. O material a ser utilizado nas laterais custa o triplo do que será utilizado no fundo. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos uma caixa sem tampa em forma de paralelepípedo retângulo com volume 1 m^3. O custo por área do fundo é c e o das laterais é 3c. O objetivo é encontrar as dimensões que minimizam o custo do material, usando otimização com restrição de volume.

Passo 2

Definimos as dimensões da caixa como x e y (lado do fundo) e z (altura).
O volume é
xyz = 1
A área do fundo é xy e a área total das quatro laterais é 2xz + 2yz.
Como o custo do fundo é c por unidade de área e o das laterais é 3c, o custo total é
C = c,(xy) ;+; 3c,(2xz+2yz) = cl(xy + 6z,(x+y)r)
Minimizar C equivale a minimizar
f(x,y,z)=xy+6z(x+y)
sujeito à restrição g(x,y,z)=xyz-1=0.

Passo 3

Usamos multiplicadores de Lagrange, definindo
L(x,y,z,lambda) = xy+6z(x+y)-lambda,(xyz-1)
As condições de ótimo interno são
partial Lpartial x: ;y +6z -lambda,yz = 0,
partial Lpartial y: ;x +6z -lambda,xz = 0,
partial Lpartial z: ;6(x+y)-lambda,xy = 0,
partial Lpartial lambda: ;xyz-1 = 0

Passo 4

Comparando partial L/partial x=0 e partial L/partial y=0, temos
y +6z = lambda,y,z, x +6z = lambda,x,z
Dividindo a primeira pela segunda dá
y+6zx+6z = yx Longrightarrow x=y

Passo 5

Com x=y, das duas primeiras igualdades basta usar uma delas, por exemplo
x +6z = lambda,x,z
E da terceira condição ( partial L/partial z=0) vem
6( x + y ) = lambda,x,y ;Longrightarrow; 6(2x) = lambda,x^2 ;Longrightarrow; lambda = 12x
Substituindo em x +6z = lambda,x,z
x +6z = 12x,x,z = 12z Longrightarrow x = 6z

Passo 6

Finalmente, da restrição de volume xyz=1 com y=x e x=6z resulta
(6z),(6z),z = 1 ;Longrightarrow; 36,z^3 = 1 ;Longrightarrow; z = l(36r)^-1/3 = 6^-2/3,
e portanto
x = y = 6z = 6^1/3

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são
x = y = 6^1/3 m, z = 6^-2/3 m

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