Encontre a constante tal que

Passo 1

O enunciado pede encontrar a constante a para que
integral0^1integral0^4 - a - x^2integrala^4 - x^2 - ydz,dy,dx = tfrac415
Como o integrando é 1, esse integral dá o volume do domínio
D = (x,y,z)mid 0 <= x <= 1,;0 <= y <= 4-a-x^2,;a <= z <= 4 - x^2 - y
Vamos calcular em etapas: primeiro a integral em z, depois em y e por fim em x, obtendo uma equação em a.

Passo 2

Integral interna em z:
integralz=a^z=4 - x^2 - ydz = (4 - x^2 - y) - a = 4 - a - x^2 - y
Assim o integral vira
integral0^1integral0^4 - a - x^2l(4 - a - x^2 - yr),dy,dx

Passo 3

Agora integramos em y. Defina b = 4 - a - x^2. Então
integral0^b(b - y),dy = b^22
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integral0^4 - a - x^2l(4 - a - x^2 - yr)dy = (4 - a - x^2)^22

Passo 4

Falta só a integral em x:
integral0^1(4 - a - x^2)^22,dx = 415
Multiplicando por 2 e expandindo:
integral0^1(4 - a - x^2)^2,dx = 815, integral0^1l[(4 - a)^2 -2(4 - a)x^2 + x^4r]dx = (4 - a)^2 - tfrac23(4 - a) + tfrac15
Portanto exigimos
(4 - a)^2 - 23(4 - a) + 15 = 815

Passo 5

Multiplicando tudo por 15:
15(4 - a)^2 - 10(4 - a) + 3 = 8 ;Longrightarrow; 15(4 - a)^2 - 10(4 - a) -5 =0
Seja t=4-a. Então
3t^2 -2t -1=0 Longrightarrow t=1 ou t=-tfrac13
Assim
4 - a = 1implies a=3, 4 - a = -tfrac13implies a=tfrac133
Mas o domínio exige 4 - a - x^2>=0 em 0<= x<=1, isto é a<=3, o que descarta tfrac133.

Resposta

3

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