Ache o centro de massa de E, em que:
E é o tetraedro delimitado pelos planos coordenados e o plano 2 x+5 y+z=10 e a densidade em P=(x, y, z) é diretamente proporcional à distância do plano x z a P.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de E, onde
  • E é o tetraedro em R^3 limitado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano
2x + 5y + z = 10
  • A densidade em P=(x,y,z) é diretamente proporcional à distância ao plano xz, que é o plano y=0. Logo podemos tomar
rho(x,y,z) = k,y,
com k>0 constante.
Para achar o centro de massa l(bar x,bar y,bar zr) usamos
M = integral triplaE rho,dV, bar x = 1M integral triplaE x,rho,dV, bar y = 1M integral triplaE y,rho,dV, bar z = 1M integral triplaE z,rho,dV
O plano 2x+5y+z=10 corta os eixos em (5,0,0), (0,2,0), (0,0,10). Então uma parametrização conveniente é
0 <= x <= 5, 0 <= y <= 10-2x5, 0 <= z <= 10 - 2x - 5y

Passo 2

Cálculo da massa
M = integral triplaE k,y,dV = k integralx=0^5!integraly=0^10-2x5!integralz=0^10-2x-5y y ,dz,dy,dx
Integramos primeiro em z:
integral0^10-2x-5y y,dz = y,l(10-2x-5yr)
Então
M = k integral0^5!integral0^10-2x5 l[(10-2x),y - 5,y^2r] dy,dx
Fazendo a integral em y e depois em x (detalhes das contas algébricas) chega-se a
M = k ,253

Passo 3

Cálculo de bar x. Primeiro o momento
Ix = integral triplaE x,rho,dV = k integral0^5!integral0^10-2x5!integral0^10-2x-5y x,y ,dz,dy,dx
De modo análogo obtemos
Ix = k ,253
Logo
bar x = IxM = tfrac253ktfrac253k = 1

Passo 4

Cálculo de bar y. Definimos
Iy = integral triplaE y,rho,dV = k integral0^5!integral0^10-2x5!integral0^10-2x-5y y^2 ,dz,dy,dx
Fazendo as integrais em z,y,x chega-se a
Iy = k,203
Portanto
bar y = IyM = tfrac203ktfrac253k = 2025 = 45

Passo 5

Cálculo de bar z. Definimos
Iz = integral triplaE z,rho,dV = k integral0^5!integral0^10-2x5!integral0^10-2x-5y y,z ,dz,dy,dx
Integramos em z para obter um fator tfrac(10-2x-5y)^22, e depois em y e x. Um modo rápido é notar que, se a=tfrac10-2x5, então as contas reduzem-se a integrar a^4 de 0 a 5, que vale 16. O resultado final é
Iz = k,503,
logo
bar z = IzM = tfrac503ktfrac253k = 2

Resposta

O centro de massa é
l(bar x,bar y,bar zr) = l(1,tfrac45,2r)

Exercícios relacionados