Ache o centro de massa de
, em que:
é o tetraedro delimitado pelos planos coordenados e o plano
e a densidade em
é diretamente proporcional à distância do plano
a
.
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de
, onde
-
é o tetraedro em limitado pelos planos coordenados , , e pelo plano
- A densidade em
é diretamente proporcional à distância ao plano , que é o plano . Logo podemos tomar
com
constante.
Para achar o centro de massa usamos
Para achar o centro de massa
O plano
corta os eixos em
,
,
. Então uma parametrização conveniente é
Passo 2
Cálculo da massa
Integramos primeiro em
:
Então
Fazendo a integral em
e depois em
(detalhes das contas algébricas) chega-se a
Passo 3
Cálculo de
. Primeiro o momento
De modo análogo obtemos
Logo
Passo 4
Cálculo de
. Definimos
Fazendo as integrais em
chega-se a
Portanto
Passo 5
Cálculo de
. Definimos
Integramos em
para obter um fator
, e depois em
e
. Um modo rápido é notar que, se
, então as contas reduzem-se a integrar
de
a
, que vale
. O resultado final é
logo
Resposta
O centro de massa é