Um problema de máximo/mínimo de uma função w=f(x, y, z) pode envolver duas restrições g(x, y, z)=k1 e g(x, y, z)=k2. Dentro das condições da teoria dos multiplicadores de Lagrange, deve-se considerar números reais lambda1 e lambda2 tais que
nabla f(x, y, z)=lambda1 nabla g(x, y, z)+lambda2 nabla h(x, y, z)
Utilize a Equação (11) para determinar o ponto da reta de interseção dos planos x+y+z=2 e x+3 y+2 z=12 que esteja mais próximo da origem.

Passo 1

O enunciado pede o ponto da reta de interseção dos planos
x + y + z = 2
e
x + 3y + 2z = 12
que esteja mais próximo da origem. Trata-se de minimizar a distância ao quadrado
f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2
sujeito às duas restrições, usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos
g(x,y,z) = x + y + z - 2 = 0, h(x,y,z) = x + 3y + 2z - 12 = 0
Pela teoria de Lagrange, existem lambda1 e lambda2 tais que
nabla f = lambda1,nabla g + lambda2,nabla h

Passo 3

Calculamos os gradientes:
nabla f = 2(x,y,z), nabla g = (1,1,1), nabla h = (1,3,2)
Logo o sistema de Lagrange é
2x = lambda1 + lambda2, 2y = lambda1 + 3lambda2, 2z = lambda1 + 2lambda2,
juntamente com as restrições
x + y + z = 2, x + 3y + 2z = 12

Passo 4

Eliminamos lambda1 e lambda2 subtraindo equações do sistema de gradientes:
da segunda menos a primeira
2y - 2x = (lambda1 + 3lambda2) - (lambda1 + lambda2) ;Longrightarrow; 2(y - x) = 2lambda2 ;Longrightarrow; lambda2 = y - x,
da terceira menos a primeira
2z - 2x = (lambda1 + 2lambda2) - (lambda1 + lambda2) ;Longrightarrow; 2z - 2x = lambda2
Igualando as duas expressões de lambda2, vem
y - x = 2z - 2x Longrightarrow y = 2z

Passo 5

Substituímos y = 2z nas restrições:
x + y + z = x + 2z + z = x + 3z = 2 ;Longrightarrow; x = 2 - 3z,
x + 3y + 2z = (2 - 3z) + 6z + 2z = 2 + 5z = 12 ;Longrightarrow; z = 2
Então
x = 2 - 3cdot2 = -4, y = 2cdot2 = 4

Resposta

O ponto da reta de interseção mais próximo da origem é (-4, 4, 2).

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