Um problema de máximo/mínimo de uma função
pode envolver duas restrições
e
. Dentro das condições da teoria dos multiplicadores de Lagrange, deve-se considerar números reais
e
tais que
Utilize a Equação (11) para determinar o ponto da reta de interseção dos planos
e
que esteja mais próximo da origem.
Passo 1
O enunciado pede o ponto da reta de interseção dos planos
e
que esteja mais próximo da origem. Trata-se de minimizar a distância ao quadrado
sujeito às duas restrições, usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos
Pela teoria de Lagrange, existem
e
tais que
Passo 3
Calculamos os gradientes:
Logo o sistema de Lagrange é
juntamente com as restrições
Passo 4
Eliminamos
e
subtraindo equações do sistema de gradientes:
da segunda menos a primeira
da segunda menos a primeira
da terceira menos a primeira
Igualando as duas expressões de
, vem
Passo 5
Substituímos
nas restrições:
Então
Resposta
O ponto da reta de interseção mais próximo da origem é
.