Ache o centro de massa da lâmina na forma da região interior à semi-circunferência r=a cos (theta), 0 <= theta <= pi / 2, e cuja medida da densidade de massa por unidade de área em qualquer ponto é proporcional à medida de sua distância à origem. A massa é medida em kg, e a distância em m.

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar o centro de massa de uma lâmina plana cuja região é dada em coordenadas polares por 0 ≤ θ ≤ π/2 e 0 ≤ r ≤ a cos θ, e cuja densidade superficial é proporcional à distância r ao centro (σ®=k r). O conteúdo envolve cálculo de centro de massa em coordenadas polares com densidade variável.

Passo 2

As coordenadas do centro de massa (x̄,ȳ) de uma lâmina com densidade σ(x,y) são dadas por
barx=1Mintegral duplaR x,σ,dA, bary=1Mintegral duplaR y,σ,dA, M=integral duplaR σ,dA

Passo 3

Para calcular a massa total M:
M=integralθ=0^π/2integralr=0^acosθk,rcdot r,dr,dθ = kintegral0^π/2integral0^acosθr^2,dr,dθ = kintegral0^π/2(acosθ)^33,dθ =k a^33integral0^π/2cos^3θ,dθ =k a^33cdot23 =2k a^39

Passo 4

Para o momento em x (Mx):
Mx=integral duplaR x,σ,dA =integral0^π/2integral0^acosθ(rcosθ),k rcdot r,dr,dθ = kintegral0^π/2cosθintegral0^acosθr^3,dr,dθ =k a^44integral0^π/2cos^5θ,dθ =k a^44cdot815 =2k a^415

Passo 5

Para o momento em y (My):
My=integral duplaR y,σ,dA =integral0^π/2integral0^acosθ(rsinθ),k rcdot r,dr,dθ = kintegral0^π/2sinθintegral0^acosθr^3,dr,dθ =k a^44integral0^π/2sinθcos^4θ,dθ =k a^44cdot15 =k a^420

Passo 6

Finalmente, as coordenadas do centro de massa são:
barx=MxM=(2k a^4/15)(2k a^3/9)=3a5, bary=MyM=(k a^4/20)(2k a^3/9)=9a40

Resposta

l(tfrac3a5,,tfrac9a40r)

Exercícios relacionados