Usando mudanûÏa de variûÀveis, calcular $ \iint_{A} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $ com integral duplaA f(x, y) d x d y e f definidos por :
A e f(x, y)=x y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaA x y ,dx,dy em que A=(x,y)in R^2:,x^2+y^2<=2x,,y>=0. O conteúdo é mudança de variáveis: vamos identificar a forma da região e escolher coordenadas que facilitem a integral.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos a região A resolvendo x^2+y^2=2x. Isso dá
(x-1)^2+y^2=1
ou seja, um círculo de raio 1 centrado em (1,0). A condição y>=0 restringe ao semicírculo superior.

Passo 3

Para simplificar, fazemos a translação
u=x-1, v=y
Nessas novas variáveis, a região torna-se
B=(u,v):u^2+v^2<=1,,v>=0,
o integrando fica x y=(u+1)v e o jacobiano da translação é 1, logo
integral duplaA x y,dx,dy=integral duplaB(u+1)v,du,dv

Passo 4

Como B é um semicírculo unitário, usamos coordenadas polares u=rcostheta, v=rsintheta, com rin[0,1], thetain[0,pi] e jacobiano r. Assim
integral duplaB(u+1)v,du,dv=integral0^piintegral0^1(rcostheta+1)(rsintheta),r,dr,dtheta

Passo 5

Multiplicando termos dentro da integral, temos
(rcostheta+1)(rsintheta),r = r^3sinthetacostheta + r^2sintheta
Integrando em r:
integral0^1r^3,dr=tfrac14, integral0^1r^2,dr=tfrac13

Passo 6

Logo a integral vira
integral0^pil(tfrac14sinthetacostheta + tfrac13sinthetar)dtheta

Passo 7

Sabendo que
integral0^pisinthetacostheta,dtheta=0, integral0^pisintheta,dtheta=2, ficamos com
tfrac14cdot0+tfrac13cdot2=tfrac23

Resposta

tfrac23

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