Usando mudanûÏa de variûÀveis, calcular $ \iint_{A} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $ com
e
definidos por :
e
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular
em que
. O conteúdo é mudança de variáveis: vamos identificar a forma da região e escolher coordenadas que facilitem a integral.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos a região
resolvendo
. Isso dá
ou seja, um círculo de raio 1 centrado em
. A condição
restringe ao semicírculo superior.
Passo 3
Para simplificar, fazemos a translação
Nessas novas variáveis, a região torna-se
o integrando fica
e o jacobiano da translação é 1, logo
Passo 4
Como
é um semicírculo unitário, usamos coordenadas polares
,
, com
,
e jacobiano
. Assim
Passo 5
Multiplicando termos dentro da integral, temos
Integrando em
:
Passo 6
Logo a integral vira
Passo 7
Sabendo que