Mostre que:
f, se g e forem funções harmônicas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as integrais de superfície de fpartial g/partial n e de gpartial f/partial n são iguais quando f e g são funções harmônicas. Vamos usar a segunda identidade de Green, que relaciona integrais de volume e de superfície.

Passo 2

A segunda identidade de Green para duas funções suficientemente suaves f e g em um volume V com fronteira S=partial V é
$$\int_V \bigl(f,\Delta g - g,\Delta f\bigr),dV
= \int_S \left(f ,\frac{\partial g}{\partial n} - g ,\frac{\partial f}{\partial n}\right),dS. integralV l(f,Deãô
0 = \int_S \left(f ,\frac{\partial g}{\partial n} - g ,\frac{\partial f}{\partial n}\right),dS.$$
Desse modo, isolando os termos de superfície, chega-se à igualdade desejada entre as duas integrais.

Resposta

integral duplaSf,partial gpartial n,dS = integral duplaSg,partial fpartial n,dS.

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