Mostre que:
, se
e
forem funções harmônicas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as integrais de superfície de
e de
são iguais quando
e
são funções harmônicas. Vamos usar a segunda identidade de Green, que relaciona integrais de volume e de superfície.
Passo 2
A segunda identidade de Green para duas funções suficientemente suaves
e
em um volume
com fronteira
é
$$\int_V \bigl(f,\Delta g - g,\Delta f\bigr),dV
= \int_S \left(f ,\frac{\partial g}{\partial n} - g ,\frac{\partial f}{\partial n}\right),dS.
0 = \int_S \left(f ,\frac{\partial g}{\partial n} - g ,\frac{\partial f}{\partial n}\right),dS.$$
Desse modo, isolando os termos de superfície, chega-se à igualdade desejada entre as duas integrais.
Desse modo, isolando os termos de superfície, chega-se à igualdade desejada entre as duas integrais.